인하대 2011학년도 수시 1차 자연계열 1번 해설

【문항 3 : 수학+물리】(수학) [40점]■ 제시문을 읽고 주어진 논제에 대한 답안을 작성하시오.

[가] 좌표평면 위에서 점 $\displaystyle O$ 를 중심으로 하고 반지름이 $\displaystyle r$ 인 원을 생각하자. $\displaystyle x$ 축의 양의 부분을 시초선으로 할 때, 라디안으로 표시된 일반각 $\displaystyle \theta$ 를 나타내는 선이 원과 만나는 점을 $\displaystyle P$ 라고 하자. 이때, $\displaystyle \frac br,\ \frac ar,\ \frac ba,\ \frac rb,\ \frac ra,\ \frac ab\quad(a\ne0,b\ne0)$ 의 값은 $\displaystyle \theta$ 에 따라 하나씩 결정된다.

따라서 일반각 $\displaystyle \theta$ 와 이들 값의 대응 관계는 함수가 되고, 이들 함수를 통틀어 일반각 $\displaystyle \theta$ 에 대한 삼각함수라고 하며, 다음과 같이 정의된다. $\displaystyle \sin\theta=\frac br,\ \cos\theta=\frac ar,\ \tan\theta=\frac ba,\ \operatorname{cosec}\theta=\frac rb,\ \sec\theta=\frac ra,\ \cot\theta=\frac ab$

[나] 적분은 직선과 곡선, 혹은 곡선과 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이를 구하는데 사용된다. 아래 그림과 같이 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ $\displaystyle (a\le x\le b)$ 와 $\displaystyle x$ -축, 직선 $\displaystyle x=a,x=b$ 로 둘러싸인 영역의 넓이는 정적분 $\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx$ 와 같게 된다. 마찬가지로 곡선 $\displaystyle x=g(y)$ $\displaystyle (c\le y\le d)$ 와 $\displaystyle y$ -축, 직선 $\displaystyle y=c,y=d$ 로 둘러싸인 영역의 넓이는 정적분 $\displaystyle \int_c^d g(y)\,dy$ 와 같게 된다.

이에 대한 간단한 응용으로 단면의 넓이가 $\displaystyle A$ 이고 길이가 $\displaystyle L$ 인 기둥의 부피는 $\displaystyle \int_0^L A\,dx=AL$ 이 된다.

단면의 넓이 A와 길이 L인 기둥 — 부피는 $\displaystyle A\times L$

【논제 1】제시문 [가]에 주어진 내용을 바탕으로 [문항3:수학+물리](수학) 답안 공간 안에 다음을 기술하시오.

아래 그림과 같이 중심이 $\displaystyle O$ 이고 반지름이 $\displaystyle 1$ 인 원과 이 원의 중심을 지나는 직선 $\displaystyle OA$ 가 만나는 점을 $\displaystyle B$ 라 하자. 원 위의 점 $\displaystyle X$ 에서 원에 접하는 직선이 직선 $\displaystyle OA$ 와 만나는 점을 $\displaystyle P$ , 점 $\displaystyle X$ 에서 직선 $\displaystyle OA$ 에 그은 수선의 발을 $\displaystyle H$ 라 하고 점 $\displaystyle B$ 에서 직선 $\displaystyle XP$ 에 그은 수선의 발을 $\displaystyle Q$ 라 할 때, 다음 물음에 답하시오. (단, 각 $\displaystyle \angle XOP$ 는 $\displaystyle \theta\left(0<\theta<\frac\pi2\right)$ 이다.)

(1-1) 선분 $\displaystyle HP$ , 선분 $\displaystyle BQ$ 의 길이를 $\displaystyle \theta$ 의 함수로 표현하시오. (10점)

(1-2) 선분 $\displaystyle HP$ 의 길이가 선분 $\displaystyle BQ$ 의 길이의 3배가 되는 $\displaystyle \theta$ 의 값을 구하시오. (5점)

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(1-1) $\displaystyle \triangle OHX$ 와 $\displaystyle \triangle OPX$ 에 제시문 [가]의 삼각함수의 정의를 적용하면 $\displaystyle \overline{OH}=\cos\theta,\quad\overline{OP}=\frac1{\cos\theta}$ 이다. 따라서 $\displaystyle \overline{HP}=\overline{OP}-\overline{OH}=\frac1{\cos\theta}-\cos\theta$ 또한 $\displaystyle \triangle OPX\propto\triangle BPQ$ 이므로 비례식 $\displaystyle \overline{OX}:\overline{BQ}=\overline{OP}:\overline{BP}$ 즉 $\displaystyle 1:\overline{BQ}=\frac1{\cos\theta}:\frac1{\cos\theta}-1$ 으로부터 $\displaystyle \overline{BQ}=\cos\theta\left(\frac1{\cos\theta}-1\right)=1-\cos\theta$

(별해) 점 $\displaystyle B$ 에서 선분 $\displaystyle OX$ 에 내린 수선의 발을 $\displaystyle H^{\prime}$ 이라 하면 $\displaystyle \overline{OH^{\prime}}=\cos\theta$ 이므로 $\displaystyle \overline{BQ}=\overline{XH^{\prime}}=\overline{OX}-\overline{OH^{\prime}}=1-\cos\theta$

(1-2) 문제의 조건 $\displaystyle \overline{HP}=3\overline{BQ}$ 으로부터 등식 $\displaystyle \frac1{\cos\theta}-\cos\theta=3(1-\cos\theta)$ 을 얻고 이를 정리하면 $\displaystyle 2\cos^2\theta-3\cos\theta+1=(2\cos\theta-1)(\cos\theta-1)=0$ 을 얻는다. $\displaystyle 0^\circ<\theta<90^\circ$ 이므로 $\displaystyle \cos\theta=\frac12$ 이다. 따라서 $\displaystyle \theta=\frac\pi3=60^\circ$ 이다.

평가 기준
삼각함수의 정의를 정확하게 이해하고 논제에서 요구한 계산을 올바르게 수행할 수 있는 능력
적분의 개념 및 응용을 정확하게 이해하고 기본적인 적분 관련 계산을 올바르게 수행할 수 있는 능력

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자연계열 1번

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