자연계열 1번

(1-1) $\displaystyle \triangle OHX$와 $\displaystyle \triangle OPX$에 제시문 [가]의 삼각함수의 정의를 적용하면$\displaystyle \overline{OH}=\cos\theta,\quad\overline{OP}=\frac1{\cos\theta}$이다. 따라서$\displaystyle \overline{HP}=\overline{OP}-\overline{OH}=\frac1{\cos\theta}-\cos\theta$또한 $\displaystyle \triangle OPX\propto\triangle BPQ$이므로 비례식$\displaystyle \overline{OX}:\overline{BQ}=\overline{OP}:\overline{BP}$ 즉 $\displaystyle 1:\overline{BQ}=\frac1{\cos\theta}:\frac1{\cos\theta}-1$으로부터$\displaystyle \overline{BQ}=\cos\theta\left(\frac1{\cos\theta}-1\right)=1-\cos\theta$

(별해) 점 $\displaystyle B$에서 선분 $\displaystyle OX$에 내린 수선의 발을 $\displaystyle H^{\prime}$이라 하면 $\displaystyle \overline{OH^{\prime}}=\cos\theta$이므로$\displaystyle \overline{BQ}=\overline{XH^{\prime}}=\overline{OX}-\overline{OH^{\prime}}=1-\cos\theta$

(1-2) 문제의 조건 $\displaystyle \overline{HP}=3\overline{BQ}$으로부터 등식$\displaystyle \frac1{\cos\theta}-\cos\theta=3(1-\cos\theta)$을 얻고 이를 정리하면$\displaystyle 2\cos^2\theta-3\cos\theta+1=(2\cos\theta-1)(\cos\theta-1)=0$을 얻는다. $\displaystyle 0^\circ<\theta<90^\circ$이므로 $\displaystyle \cos\theta=\frac12$이다. 따라서 $\displaystyle \theta=\frac\pi3=60^\circ$이다.