자연계열 2번

(2-1) $\displaystyle s$초 동안에 주입된 기름은 다음과 같다.$\displaystyle \int_0^s\frac t{1+t^2}\,dt=\Biggl[\frac12\ln(1+t^2)\Biggr]_0^s=\frac12\ln(1+s^2)$

(2-2) $\displaystyle s$초 동안에 기름을 주입했더니 [그림 3]과 같이 탱크의 반이 채워지지 않았고, $\displaystyle s$초 동안에 유입된 기름의 높이를 $\displaystyle h$라 하자. 제시문 [나]에 의해 $\displaystyle s$초 동안에 유입된 기름은 $\displaystyle \left(2\int_0^h\sqrt{\frac ya}\,dy\right)\times L$으로 주어진다. (2-1)의 결과를 이용하면$\displaystyle 2L\int_0^h\sqrt{\frac ya}\,dy=\frac12\ln(1+s^2)$이 성립한다. 좌변을 적분하면$\displaystyle 2L\int_0^h\sqrt{\frac ya}\,dy=\frac{2L}{\sqrt a}\int_0^h y^{\frac12}\,dy=\frac{4L}{3\sqrt a}h^{\frac32}$가 된다. 따라서 $\displaystyle \frac{4L}{3\sqrt a}h^{\frac32}=\frac12\ln(1+s^2)$이므로$\displaystyle h=\left(\frac{3\sqrt a}{8L}\ln(1+s^2)\right)^{\frac23}$이 된다.

(2-3) 높이가 $\displaystyle 2aA_0^2$이므로 이 높이의 $\displaystyle \frac23$는 $\displaystyle \frac{4aA_0^2}3$이 된다. 두 곡선이 $\displaystyle y=aA_0^2$에 대해서 대칭이므로 구하는 부피는 전체 탱크의 부피에서 높이가 $\displaystyle \frac{2aA_0^2}3$까지의 부피를 빼면 된다. 우선 전체 탱크의 부피를 $\displaystyle V_0$라고 하면$\displaystyle V_0=4L\int_0^{aA_0^2}\sqrt{\frac ya}\,dy=\frac{8L}{3\sqrt a}(aA_0^2)^{\frac32}=\frac83aLA_0^3$이 된다. 높이가 $\displaystyle \frac{2aA_0^2}3$까지의 탱크의 부피 $\displaystyle V_1$은$\displaystyle V_1=2L\int_0^{\frac{2aA_0^2}3}\sqrt{\frac ya}\,dy=\frac{4L}{3\sqrt a}\left(\frac{2aA_0^2}3\right)^{\frac32}=\frac{8\sqrt2}{9\sqrt3}aLA_0^3$이 된다. 따라서 구하려는 부피는$\displaystyle \begin{aligned}V_0-V_1&=\frac{8aLA_0^3}3-\frac{8\sqrt2aLA_0^3}{9\sqrt3}\\&=\frac{8aLA_0^3}3\left(1-\frac{\sqrt2}{3\sqrt3}\right)\\&=\frac{8aLA_0^3}3\left(1-\frac{\sqrt6}9\right)\\&=\frac{8(9-\sqrt6)}{27}aLA_0^3\end{aligned}$이 된다.