자연계열 1번

(가) 복소수 $\displaystyle z=a+bi$에 대하여 $\displaystyle |z|$를$\displaystyle |z|=\sqrt{a^2+b^2}$으로 정의하고, 두 복소수 $\displaystyle z=a+bi$와 $\displaystyle w=c+di$에 대하여 연산 $\displaystyle z\otimes w$를$\displaystyle z\otimes w=ac+bd$으로 정의하자. 여기서 $\displaystyle a,b,c,d$는 모두 실수이다.한편, 두 복소수 $\displaystyle z=a+bi$와 $\displaystyle w=c+di$를 각각 좌표평면 위의 점 $\displaystyle A(a,b)$와 $\displaystyle B(c,d)$로 대응시키면 $\displaystyle |z|$는 위치벡터 $\displaystyle \overrightarrow{OA}=(a,b)$의 크기를 의미한다. 여기서 정점 $\displaystyle O$는 좌표평면 위에서 원점이다. 또한 $\displaystyle z\otimes w$는 두 위치벡터 $\displaystyle \overrightarrow{OA}$와 $\displaystyle \overrightarrow{OB}$의 내적 $\displaystyle \overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}$을 의미한다. 특히 $\displaystyle |z|=1$이면, 대응되는 점 $\displaystyle A$의 좌표는 선분 $\displaystyle \overline{OA}$가 $\displaystyle x$축의 양의 방향과 이루는 각 $\displaystyle \theta$를 이용하여 $\displaystyle A(\cos\theta,\sin\theta)$로 나타낼 수 있다.

(나) [그림 1]과 같이 구간 $\displaystyle [0,a]$에서 곡선 $\displaystyle f(x)=x^2$ 위의 임의의 점 $\displaystyle P(t,t^2)$에서 접선은$\displaystyle L:y=2t(x-t)+t^2$이다. 곡선 $\displaystyle f(x)=x^2$과 세 개의 직선 $\displaystyle L,x=0,x=a$으로 둘러싸인 부분의 면적 $\displaystyle S(t)$는$\displaystyle S(t)=\int_0^a\{x^2-2t(x-t)-t^2\}\,dx=\frac13a^3-a^2t+at^2$으로 주어진다. $\displaystyle S(t)$를 $\displaystyle t$로 미분하면 $\displaystyle \frac d{dt}S(t)=-a^2+2at=2a\left(t-\frac a2\right)$이고 $\displaystyle a>0$이므로 증감을 조사하면 $\displaystyle t=\frac a2$일 때 $\displaystyle S\left(\frac a2\right)$는 극소이면서 최소이다.

(다) 함수 $\displaystyle y=f(x)$가 폐구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속일 때 함수 $\displaystyle f(x)$의 $\displaystyle a$에서 $\displaystyle b$까지의 정적분은 아래왼쪽 기호로 나타내고, 그 값은 아래 오른쪽 극한값으로 주어진다.$\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x$ (단, $\displaystyle \Delta x=\frac{b-a}n,\quad x_k=a+k\Delta x$)