자연계열 1번

(1-1) 복소수 $\displaystyle z,w$에 대응하는 좌표평면 위의 점들과 원점을 잇는 선분이 양의 $\displaystyle x$축과 이루는 각을 각각 $\displaystyle \alpha,\beta$라 하면, $\displaystyle |z|=|w|=1$이므로 제시문 (가)에 의해$\displaystyle z=\cos\alpha+i\sin\alpha,w=\cos\beta+i\sin\beta$가 된다. 한편, $\displaystyle z\otimes w=\frac12$이므로 연산 $\displaystyle \otimes$의 정의에 의해$\displaystyle z\otimes w=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha-\beta)=\frac12$이다. 구하는 것이 $\displaystyle z^2\otimes w^2$이므로 먼저 $\displaystyle z^2,w^2$을 구하면$\displaystyle z^2=\cos2\alpha+i\sin2\alpha,w^2=\cos2\beta+i\sin2\beta$이다. 연산 $\displaystyle \otimes$의 정의와 코사인 함수의 공식을 적용하면$\displaystyle \begin{aligned}z^2\otimes w^2&=\cos2\alpha\cos2\beta+\sin2\alpha\sin2\beta\\&=\cos2(\alpha-\beta)=2\cos^2(\alpha-\beta)-1=2\left(\frac12\right)^2-1=-\frac12\end{aligned}$(혹은 $\displaystyle z^2\otimes w^2=\cos2(\alpha-\beta)=\cos^2(\alpha-\beta)-\sin^2(\alpha-\beta)=\frac14-\left(1-\frac14\right)=-\frac12$)을 얻는다.

(1-2) 제시문 (가)에 의하면 $\displaystyle z^2\otimes w^2$은 좌표평면에서 대응되는 벡터들의 내적을 의미한다. $\displaystyle z^2$과 $\displaystyle w^2$에 대응하는 평면상의 점이 각각 $\displaystyle P,Q$라 했으므로$\displaystyle -\frac12=z^2\otimes w^2=\overrightarrow{OP}\circ\overrightarrow{OQ}=|\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{OQ}|\cos(\angle POQ)$가 성립한다. $\displaystyle |\overrightarrow{OP}|=|z^2|=|z|^2=1,|\overrightarrow{OQ}|=|w^2|=|w|^2=1$이므로 $\displaystyle \cos(\angle POQ)=-\frac12$이다. 따라서 $\displaystyle \angle POQ=\frac{2\pi}3$이다.