자연계열 2번

(2-1) 제시문 (나)의 방법을 따라 해보자. 먼저 접점 $\displaystyle (t,f(t))$에서 접선 $\displaystyle L$을 구하면,$\displaystyle L:y=f^{\prime}(t)(x-t)+f(t)$이다. 곡선 $\displaystyle y=f(x)$는 아래로 볼록하다고 했으므로 $\displaystyle f^{\prime\prime}(t)>0$이고 접선 $\displaystyle L$은 곡선 아래에 있다. 따라서 곡선 $\displaystyle y=f(x)$와 세 개의 직선 $\displaystyle L,x=0,x=a$에 의해 둘러싸인 도형의 면적은 다음으로 주어진다.Comment. 아래로 볼록하다고 해서 모든 점에서 $\displaystyle f^{\prime\prime}(t)>0$인 것은 아니다. 이계도함수가 존재할 때에는 $\displaystyle f^{\prime\prime}(t)\ge0$으로 두어도 $\displaystyle t=a/2$에서 넓이가 최소라는 결론을 얻을 수 있다. 그러나 원문의 엄격한 부등호는 수록 원칙에 따라 그대로 실었다.$\displaystyle \begin{aligned}S(t)&=\int_0^a\{f(x)-f^{\prime}(t)(x-t)-f(t)\}\,dx\\&=\int_0^a f(x)\,dx-f^{\prime}(t)\Biggl[\frac12x^2-tx\Biggr]_0^a-f(t)\Biggl[x\Biggr]_0^a\\&=\int_0^a f(x)\,dx-f^{\prime}(t)\left(\frac12a^2-ta\right)-f(t)a\end{aligned}$이 면적을 $\displaystyle t$로 미분하면$\displaystyle \frac d{dt}S(t)=-f^{\prime\prime}(t)\left(\frac12a^2-at\right)+f^{\prime}(t)a-f^{\prime}(t)a=f^{\prime\prime}(t)a\left(t-\frac12a\right)$이다. 구간 $\displaystyle [0,a]$에서 $\displaystyle af^{\prime\prime}(t)>0$이므로 $\displaystyle t<\frac a2$일 때 $\displaystyle \frac d{dt}S(t)<0$이고 $\displaystyle t>\frac a2$일 때 $\displaystyle \frac d{dt}S(t)>0$이므로 $\displaystyle t=\frac a2$일 때 $\displaystyle S\left(\frac a2\right)$는 극소이면서 최소이다.

(2-2) 먼저 $\displaystyle f(x)$의 이계도함수는 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=2e^x+xe^x>0$이므로 곡선 $\displaystyle y=f(x)$는 아래로 볼록하다. 문제에서 곡선 $\displaystyle y=xe^x$와 세 직선 $\displaystyle L,x=0,x=\frac{2k}n$로 둘러싸인 면적이 최소라 하였으므로 문제 (2-1)의 결과를 적용할 수 있다. 즉 접점은 $\displaystyle P\left(\frac kn,\frac kne^{\frac kn}\right)$이고 따라서 $\displaystyle Q_{n,k}\left(\frac kn,0\right)$이다. 접선은$\displaystyle L:y=\left(1+\frac kn\right)e^{\frac kn}\left(x-\frac kn\right)+\frac kne^{\frac kn}$이다. 이 접선의 $\displaystyle x$절편은 $\displaystyle x=\frac kn-\frac{\frac kne^{\frac kn}}{\left(1+\frac kn\right)e^{\frac kn}}=\frac kn-\frac{\frac kn}{1+\frac kn}$이므로 $\displaystyle R\left(\frac kn-\frac{\frac kn}{1+\frac kn},0\right)$이다. 따라서 $\displaystyle |Q_{n,k}-R_{n,k}|=\frac{(k/n)}{1+(k/n)}$이다. 그러므로$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n|Q_{n,k}-R_{n,k}|&=\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\frac{(k/n)}{1+(k/n)}\\&=\int_0^1\frac{x}{1+x}\,dx=\int_0^1\left(1-\frac1{1+x}\right)dx=\Biggl[x-\ln(1+x)\Biggr]_0^1=1-\ln2\end{aligned}$이다.