자연계열 1번

두 점 $\displaystyle A(1,0,0)$와 $\displaystyle B(0,1,-1)$는 평면 $\displaystyle \alpha:x+y+2z=4$의 한 쪽 편에 있다. 평면 $\displaystyle \alpha$ 위의 임의의 점을 $\displaystyle X$라 두면 [문제 1]은 $\displaystyle \overline{AX}+\overline{BX}$의 최솟값과 그때의 $\displaystyle X$을 구하는 것이다. 아래 그림과 같이 평면 $\displaystyle \alpha$에 내린 $\displaystyle A,B$의 수선의 발을 $\displaystyle A^{\prime},B^{\prime}$이라 하고, 평면 $\displaystyle \alpha$에 대한 $\displaystyle A$의 대칭점을 $\displaystyle C$라 하면 $\displaystyle \overline{AX}+\overline{BX}$의 최솟값은 $\displaystyle \overline{BC}$이고 그때의 $\displaystyle X$는 직선 $\displaystyle BC$와 평면 $\displaystyle \alpha$의 교점 $\displaystyle P$이다.

(풀이1) 평면 $\displaystyle \alpha$에 대한 $\displaystyle A$의 대칭점을 $\displaystyle C(a,b,c)$라 하면, 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{AC}=(a-1,b,c)$와 평면 $\displaystyle \alpha$의 법선벡터 $\displaystyle \vec n=(1,1,2)$는 평행하고, 선분 $\displaystyle AC$의 중점은 평면 $\displaystyle \alpha$ 위에 있으므로$\displaystyle (a-1,b,c)=t(1,1,2),\quad\frac{a+1}2+\frac b2+c=4$이 성립한다. 이를 풀면 $\displaystyle t=1$이고 $\displaystyle C(2,1,2)$이다. 따라서 구하는 최솟값은$\displaystyle \overline{BC}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$이다.

직선 $\displaystyle BC$는 점 $\displaystyle B(0,1,-1)$을 지나고 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{BC}=(2,0,3)$에 평행한 직선이므로$\displaystyle l:\begin{cases}x=2t\\y=1\\z=-1+3t\end{cases}$이다. 이를 평면 $\displaystyle \alpha$에 대입하면 $\displaystyle 2t+1+2(-1+3t)=4$, 즉 $\displaystyle t=\frac58$이다. 따라서$\displaystyle (x,y,z)=\left(\frac{10}8,1,\frac78\right)=\left(\frac54,1,\frac78\right)$.