자연계열 2번

[문제 2](1) 치환적분법을 이용하자. $\displaystyle \frac{x^2}2=t$로 치환하면 $\displaystyle xdx=dt$이므로

$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^1x\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}2}\,dx&=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_0^{\frac12}e^{-t}\,dt=\frac1{\sqrt{2\pi}}\Biggl[-e^{-t}\Biggr]_0^{\frac12}\\&=\frac1{\sqrt{2\pi}}(1-e^{-\frac12})=\frac{\sqrt e-1}{\sqrt{2\pi e}}\end{aligned}$

(2) 부분적분법을 이용하자.$\displaystyle \int_0^1g(t)\,dt=\int_0^1\frac d{dt}(t)g(t)\,dt=\Biggl[tg(t)\Biggr]_0^1-\int_0^1t\frac d{dt}g(t)\,dt$이다.

한편$\displaystyle g(1)=0,\quad\frac d{dt}g(t)=\frac d{dt}\int_t^1f(x)\,dx=-f(t)$이므로,

이를 위 식에 대입하여 정리하면 다음과 같다.$\displaystyle \int_0^1g(t)\,dt=\int_0^1tf(t)\,dt=E(0\le X\le1)=\frac{\sqrt e-1}{\sqrt{2\pi e}}$