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자연계열 2번

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인하대 2013학년도 수시 2차 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/inha/2013su_2/jayeon_2

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배점25점
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문제

(가) 좌표공간에서 두 점 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)\displaystyle A(x_1,y_1,z_1), B(x_2,y_2,z_2) 사이의 거리 AB‾\displaystyle \overline{AB}는 다음과 같다.AB‾=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2\displaystyle \overline{AB}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}

(나) 연속확률변수 X\displaystyle X가 표준정규분포 N(0,1)\displaystyle N(0,1)을 따를 때, X\displaystyle X의 확률밀도함수는f(x)=12πe−x22(−∞<x<∞)\displaystyle f(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}2}\quad(-\infty<x<\infty)으로 주어진다. 이때 a≤X≤b\displaystyle a\le X\le b에 대한 확률 P(a≤X≤b)\displaystyle P(a\le X\le b)와 평균 E(a≤X≤b)\displaystyle E(a\le X\le b)는 다음과 같다.P(a≤X≤b)=∫abf(x) dx,E(a≤X≤b)=∫abxf(x) dx\displaystyle P(a\le X\le b)=\int_a^b f(x)\,dx,\qquad E(a\le X\le b)=\int_a^b xf(x)\,dx

[문제 2] 연속확률변수 X\displaystyle X의 확률밀도함수 f(x)=12πe−x22\displaystyle f(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}2} (−∞<x<∞)\displaystyle (-\infty<x<\infty)에 대하여, 제시문 (나)를 참고하여 아래의 문제에 대한 답안을 작성하시오.

(1) 평균 E(0≤X≤1)\displaystyle E(0\le X\le1)을 구하시오. (10점)

(2) g(t)=P(t≤X≤1)\displaystyle g(t)=P(t\le X\le1)이라 할 때 ∫01g(t) dt\displaystyle \int_0^1g(t)\,dt의 값을 구하시오. (15점)

해설강의 준비중

인하대 2013학년도 수시 2차 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/inha/2013su_2/jayeon_2

+3점 · (1) 치환 x22=t, xdx=dt\displaystyle \frac{x^2}2=t,\ xdx=dt이 올바른 경우

[문제 2](1) 치환적분법을 이용하자. x22=t\displaystyle \frac{x^2}2=t로 치환하면 xdx=dt\displaystyle xdx=dt이므로

+3점 · 치환 후 적분 구간 ∫012\displaystyle \int_0^{\frac12}이 올바른 경우
+4점 · 올바른 계산 결과 e−12πe\displaystyle \frac{\sqrt e-1}{\sqrt{2\pi e}} 혹은 12π(1−e−1/2)\displaystyle \frac1{\sqrt{2\pi}}(1-e^{-1/2})가 나오면

∫01x12πe−x22 dx=12π∫012e−t dt=12π[−e−t]012=12π(1−e−12)=e−12πe\displaystyle \begin{aligned}\int_0^1x\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}2}\,dx&=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_0^{\frac12}e^{-t}\,dt=\frac1{\sqrt{2\pi}}\Biggl[-e^{-t}\Biggr]_0^{\frac12}\\&=\frac1{\sqrt{2\pi}}(1-e^{-\frac12})=\frac{\sqrt e-1}{\sqrt{2\pi e}}\end{aligned}

+6점 · (2) ∫01g(t) dt=∫01ddt(t)g(t) dt=[tg(t)]01−∫01tddtg(t) dt\displaystyle \int_0^1g(t)\,dt=\int_0^1\frac d{dt}(t)g(t)\,dt=\Biggl[tg(t)\Biggr]_0^1-\int_0^1t\frac d{dt}g(t)\,dt

(2) 부분적분법을 이용하자.∫01g(t) dt=∫01ddt(t)g(t) dt=[tg(t)]01−∫01tddtg(t) dt\displaystyle \int_0^1g(t)\,dt=\int_0^1\frac d{dt}(t)g(t)\,dt=\Biggl[tg(t)\Biggr]_0^1-\int_0^1t\frac d{dt}g(t)\,dt이다.

+6점 · g(1)=0, ddtg(t)=−f(t)\displaystyle g(1)=0,\ \frac d{dt}g(t)=-f(t)

한편g(1)=0,ddtg(t)=ddt∫t1f(x) dx=−f(t)\displaystyle g(1)=0,\quad\frac d{dt}g(t)=\frac d{dt}\int_t^1f(x)\,dx=-f(t)이므로,

+3점 · 올바른 계산 결과 e−12πe\displaystyle \frac{\sqrt e-1}{\sqrt{2\pi e}} 혹은 12π(1−e−1/2)\displaystyle \frac1{\sqrt{2\pi}}(1-e^{-1/2})가 나오면

이를 위 식에 대입하여 정리하면 다음과 같다.∫01g(t) dt=∫01tf(t) dt=E(0≤X≤1)=e−12πe\displaystyle \int_0^1g(t)\,dt=\int_0^1tf(t)\,dt=E(0\le X\le1)=\frac{\sqrt e-1}{\sqrt{2\pi e}}

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