자연계열 2번

다음 제시문을 읽고 질문에 답하시오.

(※) 집합 $\displaystyle X=\{1,2,3,\ldots,300\}$에 대하여, 세 집합$\displaystyle B_1=\{1,2,3\}\cup\{3k\mid4\leq k\leq100\}$$\displaystyle B_2=\{4,5,6\}\cup\{3k-1\mid4\leq k\leq100\}$$\displaystyle B_3=\{7,8,9\}\cup\{3k-2\mid4\leq k\leq100\}$는 $\displaystyle X$의 분할이 된다. 이 때, 각 $\displaystyle B_i$, $\displaystyle i=1,2,3$는 다음과 같은 조건을 만족한다.

(조건) 15이상 300이하의 모든 정수는 $\displaystyle B_i$의 서로 다른 두 원소의 합이다.

이와 같은 조건을 만족하는 $\displaystyle X$의 분할을 ‘좋은 분할’이라고 부르자. 우리는 이 집합 $\displaystyle X$에 대하여 다음 명제가 참임을 귀류법을 써서 증명하고자 한다.

[명제] 집합 $\displaystyle X$에 대하여 네 개의 부분집합으로 이루어진 좋은 분할은 존재하지 않는다.

(2-1) 먼저, 네 개의 집합 $\displaystyle S_1$, $\displaystyle S_2$, $\displaystyle S_3$, $\displaystyle S_4$가 $\displaystyle X=\{1,2,3,\ldots,300\}$의 좋은 분할이라고 가정하자. 그리고 각 $\displaystyle i=1,2,3,4$에 대하여, $\displaystyle T_i=S_i\cap\{1,2,\ldots,23\}$이라 하자. 그러면, 각 $\displaystyle i$에 대하여 정수 $\displaystyle 15,16,\ldots,24$ 각각은 $\displaystyle T_i$의 서로 다른 두 원소의 합으로 표현되어야 한다. 각 $\displaystyle T_i$에는 최소한 몇 개의 원소가 있어야 하는가? (10점)

(2-2) $\displaystyle T_1$, $\displaystyle T_2$, $\displaystyle T_3$, $\displaystyle T_4$ 중 적어도 하나는 5개의 원소를 가짐을 보이시오. (8점)

(2-3) 5개의 원소를 갖는 집합 $\displaystyle T_j$에 대하여, 10개의 정수 $\displaystyle 15,16,\ldots,24$ 각각이 $\displaystyle T_j$의 서로 다른 두 원소의 합이 되어야 한다는 사실로부터 발생하는 모순을 찾으시오. (12점)