공학계열 3번

화각 $\displaystyle \beta$, 초점거리 d, 영상 센서 높이 h의 관계를 그림[3-1]에서 구하면

$\displaystyle \frac h{2d}=\tan\left(\frac\beta2\right)$

영상 센서 높이 $\displaystyle h=0.04$일 때 계산된 주어진 화각 $\displaystyle \beta$의 범위를 만족하는 초점거리 $\displaystyle d$를 구하면 다음과 같다.

$\displaystyle \tan\left(\frac\pi6\right)\leq\frac{0.04}{2d}\leq\tan\left(\frac\pi4\right)$

$\displaystyle \Rightarrow\frac1{\sqrt3}\leq\frac{0.02}{d}\leq1$

$\displaystyle \Rightarrow0.02\leq d\leq0.02\sqrt3$

삼각함수의 극한을 계산하면

$\displaystyle \begin{aligned}\alpha&=\lim_{t\to0}\frac{\pi t\sin t}{3-3\cos t}\times\frac{3+3\cos t}{3+3\cos t}\\&=\lim_{t\to0}\frac{\pi t\sin t(3+3\cos t)}{9(1-\cos^2t)}\\&=\lim_{t\to0}\frac{\pi t\sin t(3+3\cos t)}{9\sin^2t}\\&=\lim_{t\to0}\frac{\pi t(3+3\cos t)}{9\sin t}\\&=\lim_{t\to0}\frac{3\pi}9\frac{t}{\sin t}(1+\cos t)\\&=\frac\pi3\times1\times(1+\cos0)=\frac{2\pi}3\end{aligned}$

카메라의 위치 P의 x, y 좌표를 계산하면 다음과 같다.

$\displaystyle (x,y)=\left(10\cos\frac{2\pi}3,10\sin\frac{2\pi}3\right)=(-5,5\sqrt3)$

지표의 함수 f(x)의 개형을 그리기 위해 $\displaystyle 0\leq x<3$에서 도함수가 0인 $\displaystyle x$값을 찾으면 다음과 같다.

$\displaystyle f^{\prime}(x)=x^2-4x+3=0\quad\Rightarrow\quad x=1,3$ ($\displaystyle x=1,3$에서 극값을 갖는다.)

변곡점을 찾기위해 $\displaystyle 0\leq x<3$에서 이계도함수가 0인 $\displaystyle x$값을 찾으면 다음과 같다.

$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=2x-4=0\quad\Rightarrow\quad x=2$

변곡점의 좌표는 $\displaystyle (2,f(2))$이고, 아래 그림과 같이 $\displaystyle x=2$의 좌,우에서 함수의 그래프의 모양이 각각 위로 볼록, 아래로 볼록이다.

$\displaystyle x=1,3$과 $\displaystyle x=2$에서 $\displaystyle f(x)$를 계산하면 $\displaystyle f(1)=\frac43,f(2)=\frac23,f(3)=0$이므로 함수 $\displaystyle f(x)$의 개형은 다음 그림과 같다.

* 이계도함수를 이용한 볼록에 대한 조사가 없으면 1점 감점.

* 극값과 변곡점에 대한 함수값은 구하지 않아도 감점 없음

위 그림에서 확인할 수 있듯이 지표의 최고점은, $\displaystyle x=1$에서 $\displaystyle y=\frac43$이다.

최고점과 P를 지나는 직선의 기울기는 1이므로 카메라가 촬영하는 중심방향이 최고점을 지날 때 카메라 각도 $\displaystyle \gamma=\frac\pi4$이다.

아래 그림에서와 같이 카메라가 촬영하는 중심방향은 화각 $\displaystyle \beta$를 이등분 한다. 카메라 화각 $\displaystyle \beta=\frac\pi6$이므로, 최고점을 촬영하기 위한 카메라 각도의 범위는 다음과 같다.

$\displaystyle \frac\pi4-\frac\pi{12}\leq\gamma\leq\frac\pi4+\frac\pi{12}$

$\displaystyle \Rightarrow\frac\pi6\leq\gamma\leq\frac\pi3$

그래프의 개형을 그리기 위해, $\displaystyle 1\leq x<2$에서 $\displaystyle f(x)$를 미분하면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=-2x+\frac1{8x}$이다. $\displaystyle f^{\prime}(x)=0$에서 $\displaystyle x=-\frac14,\frac14$이고, 범위 $\displaystyle 1\leq x<2$에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)$는 음수이다.

위로 볼록, 아래로 볼록을 조사하기 위해 이계도함수를 구하면 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=-2-\frac1{8x^2}$이고 범위 $\displaystyle 1\leq x<2$에서 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)$는 음수이다. 따라서 지표을 표현하는 함수의 개형은 아래 그림과 같다.

* 이계도함수를 이용한 볼록에 대한 조사가 없으면 1점 감점.

카메라가 촬영하는 끝점의 위치는 $\displaystyle \left(1,5\right),\left(3,2+\frac18\ln2\right)$이므로, 카메라의 위치 $\displaystyle P$와 촬영하는 끝점을 연결하면 위의 그림과 같다. $\displaystyle (1,5)$와 $\displaystyle (3,7)$을 연결한 선분과 P를 지나는 수평선 사이의 각도는 $\displaystyle \frac\pi4$이므로 카메라의 화각 $\displaystyle \beta=\frac\pi4$이다.

카메라가 촬영하는 중심방향은 화각을 이등분하므로, 카메라의 각도 $\displaystyle \gamma=\frac\pi4+\frac\pi8=\frac{3\pi}8$이다.

$\displaystyle x=1$에서 $\displaystyle x=2$까지의 길이를 계산하면 다음과 같다.

$\displaystyle \begin{aligned}l_1&=\int_1^2\sqrt{1+f^{\prime}(x)^2}\,dx\\&=\int_1^2\sqrt{1+\left(-2x+\frac1{8x}\right)^2}\,dx\\&=\int_1^2\sqrt{1+\left(4x^2+\frac1{64x^2}-\frac12\right)}\,dx\\&=\int_1^2\sqrt{4x^2+\frac1{64x^2}+\frac12}\,dx\\&=\int_1^2\sqrt{\left(2x+\frac1{8x}\right)^2}\,dx\\&=\int_1^2\left|2x+\frac1{8x}\right|\,dx\\&=\Biggl[x^2+\frac18\ln|x|\Biggr]_1^2\\&=4-1+\frac18\ln2-0=3+\frac18\ln2\end{aligned}$

촬영길이 $\displaystyle l=l_1+1=4+\frac18\ln2$이다.

사다리꼴의 면적은 $\displaystyle \frac12(5+7)\times(3-1)=\frac12\times12\times2=12$

면적 $\displaystyle V=(3-2)\times\left(2+\frac18\ln2\right)=2+\frac18\ln2$

면적 $\displaystyle \begin{aligned}[t]U&=\int_1^2\left(-x^2+\frac18\ln x+6\right)dx\\&=\Biggl[-\frac13x^3+\frac18(x\ln x-x)+6x\Biggr]_1^2\\&=-\frac13(8-1)\\&\quad+\frac18[(2\ln2-2)-(1\ln1-1)]\\&\quad+6(2-1)\\&=-\frac73+\frac18(2\ln2-1)+6\\&=\frac{85}{24}+\frac14\ln2\end{aligned}$

면적 $\displaystyle \begin{aligned}[t]S&=12-V-U\\&=12-\left(2+\frac18\ln2\right)-\left(\frac{85}{24}+\frac14\ln2\right)\\&=10-\frac{85}{24}-\frac38\ln2\\&=\frac{155}{24}-\frac38\ln2\end{aligned}$