자연계열 1번

동물성 플랑크톤의 한계개체수는 $\displaystyle t\to\infty$일 때 $\displaystyle 10^{-0.1t}\to0$ 이므로 $\displaystyle \lim_{t\to\infty}y(t)=\lim_{t\to\infty}\frac{1000}{1+4\times10^{-0.1t}}=1000$이다. 따라서 동물성 플랑크톤의 개체수가 한계개체수의 50%, 즉 500에 도달하는 시간을 구하면 된다.

$\displaystyle \frac{1000}{1+4\times10^{-0.1t}}=500$ 이식의 양변을 500으로 나누면,

따라서 호숫물 1L 속에 서식하는 동물성플랑크톤의 개체수가 한계개체수의 50%에 이르는 것은 6일 후이다.

$\displaystyle v^{\prime}(t)=6(t-1)(t-2)$이므로, $\displaystyle v^{\prime}(t)=0$으로부터 $\displaystyle t=1,2$를 얻는다. 이 경우 다음의 표를 얻는다.

따라서 $\displaystyle t=2$에서 극소값 $\displaystyle v(2)=2$를 가짐을 알 수 있다. 따라서 $\displaystyle t=2$에서 물체의 운동에너지는 (1/2)×질량×속도²$\displaystyle =(1/2)\times m\times2^2=2m$이다.

일정한 각 $\displaystyle \theta$를 갖는 원형 고리의 면적은 $\displaystyle ds=2\pi R\sin\theta\times R\pi\,d\theta$ 전지의 출력=효율×(태양 복사조도×흡수율×면적의 합)Correction. 고리 면적의 두 번째 인수 $\displaystyle R\pi\,d\theta$는 $\displaystyle R\,d\theta$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle P=0.05\times\int_0^{\pi/2}I_s\cos\theta\times\cos\theta\;dS=0.05\times I_s\times2\pi R^2\int_0^{\pi/2}\cos^2\theta\sin\theta\,d\theta$

정적분 값은 1/3이므로

$\displaystyle P=0.05\times\frac23\pi R^2I_s=0.05\times\frac23\times3.1\times(6\times10^6)^2\times1.4\times10^3$

$\displaystyle \simeq5.2\times10^{15}(\mathrm W)$