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자연계열 1번

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경희대 2014학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/khu/2014mo/jayeon_1

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문제

Ⅰ. 다음 제시문을 읽고 논제에 답하시오. [40점]

[가] 아르키메데스(약 기원전 287년~기원전 212년)는 고대 그리스 시칠리아섬의 시라쿠사 출신의 철학자, 수학자, 천문학자, 물리학자, 공학자이다. 아르키메데스는 물리학 분야에서 정역학과 유체정역학을 연구했으며 지레의 원리를 설명한 것으로 잘 알려져 있다. 또한 아르키메데스는 아르키메데스 나선양수기, 해상에 있는 배를 공격하기 위한 거울 등의 기계를 제작하기도 하였다. 또한, 아르키메데스는 고전 고대 시기의 가장 뛰어난 수학자 가운데 한 명으로 소거법의 도입, 포물선으로 둘러싸인 도형의 넓이 계산, 원주율의 계산과 같은 업적들이 있다.

타원은 평면 위의 서로 다른 두 정점에서의 거리의 합이 일정한 점들의 집합을 말하며, 두 정점을 타원의 초점이라고 한다.

아르키메데스는 아래와 같은 방법으로 타원의 넓이를 계산하는 방법을 생각하였다. 아래 그림에서 P는 장축의 길이가 a\displaystyle a이고 단축의 길이가 2b\displaystyle 2 b인 타원이고, O는 이 타원의 장축을 지름으로 하는 원이다. 원 O에 내접하는 정2n\displaystyle 2 n각형을 그리고, 정2n\displaystyle 2 n각형의 각 꼭짓점에서 장축에 내린 수직선과 타원이 만나는 점들을 연결하여 2n\displaystyle 2 n각형을 그린다. 이 때, n\displaystyle n이 증가할수록 각 다각형의 넓이는 원과 타원의 넓이에 수렴하게 된다.Caution. 타원 x2a2+y2b2=1\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b>0\displaystyle a>b>0)의 장축의 길이는 a\displaystyle a가 아니라 2a\displaystyle 2a이고, 단축의 길이는 b\displaystyle b가 아니라 2b\displaystyle 2b이다: 제시문 [가]의 타원 방정식 x2a2+y2b2=1\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1에서 장축의 길이는 2a\displaystyle 2a이다. 따라서 제시문과 논제 I-1의 “장축의 길이가 a\displaystyle a”는 “장축의 길이가 2a\displaystyle 2a”로 써야 한다. 예시답안의 넓이 πab\displaystyle \pi ab는 a\displaystyle a, b\displaystyle b를 각각 두 축 길이의 절반으로 해석한 값이다. 원문 표현대로 두 축의 길이를 a\displaystyle a, 2b\displaystyle 2b로 읽으면 넓이는 πab2\displaystyle \frac{\pi ab}{2}가 되므로 주의해야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

원과 타원에 내접하는 다각형

원 O의 방정식: x+y2=a2\displaystyle x + y^{2} = a^{2}Correction. 원의 방정식 x+y2=a2\displaystyle x+y^2=a^2는 x2+y2=a2\displaystyle x^2+y^2=a^2의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

타원 P의 방정식: x2a2+y2b2=1\displaystyle \frac{{x^{2}}}{a^{2}} + \frac{{y^{2}}}{b^{2}} = 1

[나] 파푸스(약 기원후 290년 ~ 기원후 350년)는 고대 그리스의 수학자이다. 파푸스는 그리스 기하학의 기존 정리와 증명에 주석을 붙이고, 개선한 기하학 연구 총서와 같은 <수학집성(Collection)>을 저술하였다.

파푸스가 남긴 기하학 연구 주제 중에 아래 그림과 같은 파푸스 체인이라는 것이 있다. 먼저 큰 원 안에 작은 원이 내접하고 있다. 그러면 두 원의 중심을 연결하는 직선 위에 중심이 있으면서 두 원에 동시에 접하는 원을 한 개(O ) 그릴 수 있다. 그 다음에 이 세 원에 동시에 접하는 원을 두 개(O2,O3\displaystyle \mathrm{O}_{2} , \mathrm{O}_{3}) 그릴 수 있다. 이와 같은 과정을 반복하면 아래 그림과 같이 원들(O1,O2,O3,O4,O5,⋯\displaystyle \mathrm{O}_{1} , \mathrm{O}_{2} , \mathrm{O}_{3} , \mathrm{O}_{4} , \mathrm{O}_{5} , \cdots)이 서로 접하고 있는 체인 형태를 얻게 된다. 이것을 파푸스 체인이라고 부른다. 파푸스 체인은 여러 가지 재미있는 성질을 가지고 있다. 한 예로, 파푸스 체인의 모든 원들의 중심은 어떤 한 타원 위에 있다.

큰 원과 작은 원 사이의 파푸스 체인

<논제 I-1> 제시문 [가]를 참조하여 다음 질문에 답하시오.

장축의 길이가 a\displaystyle a, 단축의 길이가 2b\displaystyle 2 b인 타원의 넓이를 구하는 공식을 구하려고 한다. 제시문 [가]에 주어진 아르키메데스의 방법을 이용하여 타원의 넓이 공식을 유도하고 유도과정을 설명하시오.Caution. 타원 x2a2+y2b2=1\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b>0\displaystyle a>b>0)의 장축의 길이는 a\displaystyle a가 아니라 2a\displaystyle 2a이고, 단축의 길이는 b\displaystyle b가 아니라 2b\displaystyle 2b이다: 제시문 [가]의 타원 방정식 x2a2+y2b2=1\displaystyle \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1에서 장축의 길이는 2a\displaystyle 2a이다. 따라서 제시문과 논제 I-1의 “장축의 길이가 a\displaystyle a”는 “장축의 길이가 2a\displaystyle 2a”로 써야 한다. 예시답안의 넓이 πab\displaystyle \pi ab는 a\displaystyle a, b\displaystyle b를 각각 두 축 길이의 절반으로 해석한 값이다. 원문 표현대로 두 축의 길이를 a\displaystyle a, 2b\displaystyle 2b로 읽으면 넓이는 πab2\displaystyle \frac{\pi ab}{2}가 되므로 주의해야 한다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

<논제 I-2> 제시문 [나]를 참조하여 다음 질문에 답하시오.

파푸스 체인의 각 원들의 중심이 지나는 타원의 두 초점과 장축, 단축의 길이를 설명하시오.

<논제 I-3> 제시문 [가]와 [나]를 참조하여 다음 질문에 답하시오.

파푸스 체인을 만들기 위하여 주어진 처음 두 원의 반지름이 각각 12, 8일 때, 파푸스 체인의 각 원의 중심들이 지나는 타원의 넓이를 구하고, 그 근거를 논술하시오.

해설강의 준비중

논술 원 둘레에 원 배치하기

관련 개념강의 준비중

경희대 2014학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/khu/2014mo/jayeon_1

<논제 I-1>

n\displaystyle n이 증가할수록 각 다각형의 넓이가 원과 타원의 넓이에 수렴하므로 원과 타원의 넓이비는 원에 내접하는 정2n\displaystyle 2 n각형의 넓이와 타원에 내접하는 2n\displaystyle 2 n각형의 넓이비와 같다.

각각의 2n\displaystyle 2 n각형은 제시문 [가]의 그림처럼 2\displaystyle 2개의 삼각형과 n−2\displaystyle n - 2개의 사다리꼴로 나눌 수 있다.

이 때, 각각의 대응되는 삼각형과 사다리꼴들은 높이가 같다.

따라서 삼각형의 넓이비는 밑변의 길이비와 같다.

△GHF:△GH′F′=HF‾:H′F′‾\displaystyle \triangle GHF : \triangle GH^{\prime} F^{\prime} = \overline{HF} : \overline{H^{\prime} F^{\prime}}

H\displaystyle H와 H′\displaystyle H^{\prime}의 x\displaystyle x좌표를 h\displaystyle h라고 할 때, y\displaystyle y좌표는 각각 a2−h2\displaystyle \sqrt{a^{2} - h^{2}}, ∣ba∣a2−h2\displaystyle \left| \frac{{b}}{a} \right| \sqrt{a^{2} - h^{2}}이다.

따라서 △GHF:△GH′F′=HF‾:H′F′‾=a:b\displaystyle \triangle GHF : \triangle GH^{\prime} F^{\prime} = \overline{HF} : \overline{H^{\prime} F^{\prime}} = a : b이다.

사다리꼴AHFE\displaystyle AHFE와 사다리꼴A′H′F′E′\displaystyle A^{\prime} H^{\prime} F^{\prime} E^{\prime}의 경우도 마찬가지로 밑변과 윗변의 길이비가

모두 a:b\displaystyle a : b이므로 넓이비도 a:b\displaystyle a : b이다.

그러므로 원에 내접하는 정2n\displaystyle 2 n각형의 넓이와 타원에 내접하는 2n\displaystyle 2 n각형의 넓이비가 a:b\displaystyle a : b가 되며,

원과 타원의 넓이비도 a:b\displaystyle a : b이므로, 타원의 넓이는 πa2×ba=πab\displaystyle \pi a^{2} \times \frac{{b}}{a} = \pi a b이다.

<논제 I-2>

큰 원과 작은 원의 반지름을 각각 R\displaystyle R과 r\displaystyle r이라 하고, 파푸스 체인의 원Ok\displaystyle O_{k}의 반지름을 xk\displaystyle x_{k}라고 하자. 원Ok\displaystyle O_{k}는 작은 원과 외접하고, 큰 원에 내접하므로, 작은 원과 원Ok\displaystyle O_{k}의 중심거리는 r+xk\displaystyle r + x_{k}이고, 큰 원과 원Ok\displaystyle O_{k}의 중심거리는 R−xk\displaystyle R - x_{k}이다.

이 두 중심거리의 합 (R−xk)+(r+xk)=R+r\displaystyle ( R - x_{k} ) + ( r + x_{k} ) = R + r은 모든 원Ok\displaystyle O_{k}에 대하여 일정하므로,

원Ok\displaystyle O_{k}의 중심에서 작은 원의 중심과 큰 원의 중심에 이르는 거리의 합이 모든 k\displaystyle k에 대하여 같다고 할 수 있다.

따라서 타원의 정의에 의하여 원Ok\displaystyle O_{k}의 중심은 작은 원의 중심과 큰 원의 중심을 초점으로 갖는 타원 위에 있다.

큰 원과 작은 원의 중심거리는 R−r\displaystyle R - r이므로,

장축의 길이는 2(R+r2)=R+r\displaystyle 2 \left( \frac{{R + r}}{2} \right) = R + r이고, 단축의 길이는 2(R+r2)2−(R−r2)2=2Rr\displaystyle 2 \sqrt{\left( \frac{{R + r}}{2} \right)^{2} - \left( \frac{{R - r}}{2} \right)^{2}} = 2 \sqrt{R r}이다.

<논제 I-3>

R=12\displaystyle R = 12, r=8\displaystyle r = 8이므로 장축의 길이는 20\displaystyle 20이고, 단축의 길이는 86\displaystyle 8 \sqrt{6}이다.

따라서 타원의 넓이는 π×10×46=(406)π\displaystyle \pi \times 10 \times 4 \sqrt{6} = \left( 40 \sqrt{6} \right) \pi이다.

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