자연계열 1번

<논제 I-1>

$\displaystyle n$이 증가할수록 각 다각형의 넓이가 원과 타원의 넓이에 수렴하므로 원과 타원의 넓이비는 원에 내접하는 정$\displaystyle 2 n$각형의 넓이와 타원에 내접하는 $\displaystyle 2 n$각형의 넓이비와 같다.

각각의 $\displaystyle 2 n$각형은 제시문 [가]의 그림처럼 $\displaystyle 2$개의 삼각형과 $\displaystyle n - 2$개의 사다리꼴로 나눌 수 있다.

이 때, 각각의 대응되는 삼각형과 사다리꼴들은 높이가 같다.

따라서 삼각형의 넓이비는 밑변의 길이비와 같다.

$\displaystyle \triangle GHF : \triangle GH^{\prime} F^{\prime} = \overline{HF} : \overline{H^{\prime} F^{\prime}}$

$\displaystyle H$와 $\displaystyle H^{\prime}$의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle h$라고 할 때, $\displaystyle y$좌표는 각각 $\displaystyle \sqrt{a^{2} - h^{2}}$, $\displaystyle \left| \frac{{b}}{a} \right| \sqrt{a^{2} - h^{2}}$이다.

따라서 $\displaystyle \triangle GHF : \triangle GH^{\prime} F^{\prime} = \overline{HF} : \overline{H^{\prime} F^{\prime}} = a : b$이다.

사다리꼴$\displaystyle AHFE$와 사다리꼴$\displaystyle A^{\prime} H^{\prime} F^{\prime} E^{\prime}$의 경우도 마찬가지로 밑변과 윗변의 길이비가

모두 $\displaystyle a : b$이므로 넓이비도 $\displaystyle a : b$이다.

그러므로 원에 내접하는 정$\displaystyle 2 n$각형의 넓이와 타원에 내접하는 $\displaystyle 2 n$각형의 넓이비가 $\displaystyle a : b$가 되며,

원과 타원의 넓이비도 $\displaystyle a : b$이므로, 타원의 넓이는 $\displaystyle \pi a^{2} \times \frac{{b}}{a} = \pi a b$이다.

<논제 I-2>

큰 원과 작은 원의 반지름을 각각 $\displaystyle R$과 $\displaystyle r$이라 하고, 파푸스 체인의 원$\displaystyle O_{k}$의 반지름을 $\displaystyle x_{k}$라고 하자. 원$\displaystyle O_{k}$는 작은 원과 외접하고, 큰 원에 내접하므로, 작은 원과 원$\displaystyle O_{k}$의 중심거리는 $\displaystyle r + x_{k}$이고, 큰 원과 원$\displaystyle O_{k}$의 중심거리는 $\displaystyle R - x_{k}$이다.

이 두 중심거리의 합 $\displaystyle ( R - x_{k} ) + ( r + x_{k} ) = R + r$은 모든 원$\displaystyle O_{k}$에 대하여 일정하므로,

원$\displaystyle O_{k}$의 중심에서 작은 원의 중심과 큰 원의 중심에 이르는 거리의 합이 모든 $\displaystyle k$에 대하여 같다고 할 수 있다.

따라서 타원의 정의에 의하여 원$\displaystyle O_{k}$의 중심은 작은 원의 중심과 큰 원의 중심을 초점으로 갖는 타원 위에 있다.

큰 원과 작은 원의 중심거리는 $\displaystyle R - r$이므로,

장축의 길이는 $\displaystyle 2 \left( \frac{{R + r}}{2} \right) = R + r$이고, 단축의 길이는 $\displaystyle 2 \sqrt{\left( \frac{{R + r}}{2} \right)^{2} - \left( \frac{{R - r}}{2} \right)^{2}} = 2 \sqrt{R r}$이다.

<논제 I-3>

$\displaystyle R = 12$, $\displaystyle r = 8$이므로 장축의 길이는 $\displaystyle 20$이고, 단축의 길이는 $\displaystyle 8 \sqrt{6}$이다.

따라서 타원의 넓이는 $\displaystyle \pi \times 10 \times 4 \sqrt{6} = \left( 40 \sqrt{6} \right) \pi$이다.