사회계 3번

$\displaystyle x_1$은 일반인 환자의 수, $\displaystyle x_2$는 무상진료 대상자의 수라고 하자.

그렇다면 병원의 수익 $\displaystyle \pi$은 다음과 같이 표현된다.

$\displaystyle \pi=5x_1+\left\{\begin{array}{ll}3x_2&(x_2\leq20)\\60+2(x_2-20)&(x_2>20)\end{array}\right\}$ ---- (식1)

한편 제약식은 다음과 같다. 첫째, 무상진료 대상자는 전체 환자의 수인 $\displaystyle (x_1+x_2)$의 2/3 수준 이상이 되어야 하므로 $\displaystyle x_2\geq\frac{2}{3}(x_1+x_2)$ ---- (식2)로 표현된다.

두 번째 제약식은 지속적인 운영을 위해 일반인을 하루에 30명 이상은 진료해야 한다는 것이므로 $\displaystyle x_1\geq30$ ---- (식3)이 된다.

마지막으로 세 번째 제약은 무상진료 대상자와 일반인을 모두 합하여 하루에 150명 이상은 진료할 수 없는 것으로 $\displaystyle x_1+x_2\leq150$ ---- (식4)로 표현된다.

위에서 도출된 네 식은 아래 그림과 같이 표현된다. 그림에서 색칠한 부분이 식(2)-(4)로 형성되는 실행가능영역이다. 이때 병원의 수익은 식(1)처럼 $\displaystyle x_2$가 0~20명인 경우 기울기가 $\displaystyle -5/3$, 20명 초과인 경우 $\displaystyle -5/2$이므로 식(4)의 기울기인 $\displaystyle -1$ 보다 절댓값이 더욱 커서 결국 $\displaystyle \pi$를 극대화할 수 있는 점은 식(2)와 식(4)가 만나는 (50,100)이 된다. 이때 $\displaystyle \pi$값은 $\displaystyle \pi=5x_1+(60+2(x_2-20))$에 (50,100)을 대입한 $\displaystyle 5\times50+(60+2(100-20))$, 즉 470만원이 된다.

정답: 무상진료 대상자 100명/일. 수익은 470만원/일