자연계열 1번

논제I-(1) $\displaystyle P_{k} ( x_{k} , y_{k} , z_{k} )$ 가 주어졌을 때, $\displaystyle P_{k+1} ( x_{k + 1} , y_{k + 1} , z_{k + 1} )$ 은 다음 식을 만족하므로,

$\displaystyle \left( \begin{gathered}x_{k + 1} \\ y_{k + 1}\end{gathered} \right) = A \left( \begin{gathered}x_{k} \\ y_{k}\end{gathered} \right) , z_{k + 1} = r z_{k}$ ($\displaystyle A = r {\begin{pmatrix}\cos \theta & - \sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta\end{pmatrix}}$)

다음의 식을 얻을 수 있다.

$\displaystyle \left( \begin{gathered}x_{k + 1} - x_{k} \\ y_{k + 1} - y_{k}\end{gathered} \right) = A \left( \begin{gathered}x_{k} - x_{k - 1} \\ y_{k} - y_{k - 1}\end{gathered} \right) ,$ $\displaystyle z_{k} - z_{k - 1} = r ( z_{k - 1} - z_{k - 2} )$ , $\displaystyle k \geq 2$.

따라서

$\displaystyle \overrightarrow{P{}_{k + 1}\mathrm{P}_{k}} = ( r \cos \theta ( x_{k} - x_{k - 1} ) - r \sin \theta ( y_{k} - y_{k - 1} ) , r \sin \theta ( x_{k} - x_{k - 1} ) + r \cos \theta ( y_{k} - y_{k - 1} ) , r ( z_{k} - z_{k - 1} ) )$ 이고 계산하여서 정리하면,Correction. 왼쪽의 벡터 $\displaystyle \overrightarrow{P_{k+1}P_k}$는 $\displaystyle \overrightarrow{P_kP_{k+1}}$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

$\displaystyle \left| \overrightarrow{P{}_{k + 1}\mathrm{P}_{k}} \right| = r \left| \overrightarrow{P{}_{k}\mathrm{P}_{k - 1}} \right|$ (1-1)

이므로, $\displaystyle l_{k}$ 는 초항이 $\displaystyle a$이고 등비가 $\displaystyle r$인 등비급수이다. 따라서 일반항은

$\displaystyle l_{k} = a r^{k - 1}$ 이다.

논제I-(2)

변환의 관계식으로부터,

$\displaystyle ( x_{k + 1} , y_{k + 1} , z_{k + 1} ) = ( r \cos \theta x_{k} - r \sin \theta y_k, r \sin \theta x_{k} - r \cos \theta y_k, r z_{k} )$Correction. 두 번째 좌표의 마지막 항 $\displaystyle -r\cos\theta y_k$는 $\displaystyle +r\cos\theta y_k$의 오기이다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.

이므로

$\displaystyle | \overrightarrow{OP_{k + 1}} | = r | \overrightarrow{OP_{k}} |$ (2-1)

이다.

삼각형 $\displaystyle T_{k}$ 의 세변을 $\displaystyle a , b , c$ 라고 할 때,

$\displaystyle | \overline{OP_{k - 1}} | = a , | \overline{P{}_{k - 1}\mathrm{P}_{k}} | = b , | \overline{OP_{k}} | = c$

위의 식 (2-1) 과 논제I-(1)에서의 식 (1-1) 에 의해 삼각형 $\displaystyle T_{k + 1}$의 세변은 다음의 식을 만족한다.

$\displaystyle | \overline{OP_{k}} | = r a , | \overline{P{}_{k}\mathrm{P}_{k + 1}} | = r b , | \overline{OP_{k + 1}} | = r c$

세변의 닮음비가 같으므로 삼각형 $\displaystyle T_{k + 1} , T_{k}$는 닮음이다.

이것은 모든 $\displaystyle k \ge 1$ 에 대하여 성립하므로 $\displaystyle T_{k} ( k \ge 2 )$ 는 $\displaystyle T_{1}$ 과 닮음이고, 따라서 모든 삼각형 $\displaystyle T_{k} ( k \ge 1 )$ 들은 닮음이다.

논제I-(3)

논제I-(2)의 결과로서 $\displaystyle \{|T_k|\}$ 는 공비가 $\displaystyle r^{2}$인 등비급수이고, $\displaystyle \{|\overrightarrow{OP_k}|\}$ 는 공비가 $\displaystyle r$인 등비급수이다. 각 수열의 초항은 다음과 같으며,

$\displaystyle | T_{1} | = \frac{1}{2} | \overrightarrow{OP_{1}} | | \overrightarrow{OP_{0}} | \sin \alpha$ ( 이 때 $\displaystyle \alpha$ 는 $\displaystyle \overrightarrow{OP_{1}}$ 과 $\displaystyle \overrightarrow{OP_{0}}$ 가 이루는 각), $\displaystyle | \overrightarrow{OP_{1}} |$ ,

$\displaystyle P_{0} = ( 1 , 0 , 1 )$ 이고 $\displaystyle P_{1} = ( 0 , r , r )$ 이므로 $\displaystyle \cos \alpha$ 는

$\displaystyle \overrightarrow{OP}_{0} \cdot \overrightarrow{OP}_{1} = \cos \alpha | \overrightarrow{OP}_{0} | | \overrightarrow{OP}_{1} |$ 을 만족하므로 $\displaystyle \cos \alpha = \frac{1}{2}$ 이다.

따라서 $\displaystyle | T_{1} | = \frac{\sqrt{3}}{2} r , | OP_{1} | = \sqrt{2} r$ 이고,

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} {} a_{n} = \frac{{\sqrt{3}}}{2} \frac{{r}}{1 - r^{2}} , \lim_{n \to \infty} {b_{n}} = \sqrt{2} \frac{{r}}{1 - r}$ 이다.

함수 $\displaystyle f ( r ) = \frac{{\lim_{n \to \infty} {a_{n}}}}{( \lim_{n \to \infty} b_{n} )^{2}} = \frac{\sqrt3}{4}\frac{1-r}{r(1+r)}$ 에 관하여 구간 $\displaystyle [ \frac{1}{2} , \frac{4}{5} ]$ 에서 최댓값을 찾기 위해서 미분을 이용하면 $\displaystyle f^{\prime} ( r ) = \frac{{\sqrt{3}}}{4} \frac{{( r - ( 1 + \sqrt{2} ) ) ( r - ( 1 - \sqrt{2} ) )}}{( r ( r + 1 ) )^{2}}$ 이고 주어진 구간에서 $\displaystyle f ( x )$의 미분계수는 음수의 값을 가지므로 감소함수이다. 따라서 $\displaystyle r = \frac{1}{2}$ 일 때 최댓값 $\displaystyle f ( \frac{1}{2} ) = \frac{{\sqrt{3}}}{6}$ 이다.

논제I-(4)

선분 $\displaystyle P{}_{0}\mathrm{P}_{1}$ 상의 점들은 다음 식을 만족한다.

$\displaystyle \frac{x-0}{1-0}=\frac{y-r}{0-r}=\frac{z-r}{1-r},\quad(r\le z\le1)$.

$\displaystyle r = \frac{1}{2}$ 일 때, 점 $\displaystyle O$ 에서 선분 $\displaystyle P{}_{0}\mathrm{P}_{1}$ 으로의 수선의 발을 내렸을 때 끝점을 $\displaystyle Q$ 라고 하자. 회전체의 부피는 $\displaystyle \triangle QP_{0} O$ 를 $\displaystyle \overline{P_{0} Q}$ 를 회전축으로 회전하여 얻는 원뿔 $\displaystyle V_{1}$ 의 부피와 $\displaystyle \triangle Q P_{1} O$ 를 $\displaystyle \overline{P_{1} Q}$ 를 회전축으로 회전하여 얻는 원뿔 $\displaystyle V_{2}$ 의 부피의 합이 된다.

수선의 발의 끝점 $\displaystyle Q$ 를 $\displaystyle ( x , y , z ) = ( 2 z - 1 , - z + 1 , z )$ 라 두고, 직선 $\displaystyle \overrightarrow{P{}_{1}\mathrm{P}_{0}}$ 와 수직임을 이용하면 $\displaystyle z = \frac{1}{2}$ 이고 따라서 $\displaystyle Q$ 는 $\displaystyle ( 0 , \frac{{1}}{2} , \frac{{1}}{2} )$ 이다. $\displaystyle | \overrightarrow{OQ} | = \frac{\sqrt2}{2}, | \overrightarrow{QP_{0}} | = \frac{{\sqrt{6}}}{2} , | \overrightarrow{QP_{1}} | = 0$이므로,

$\displaystyle V_{1} = \frac{{1}}{3} \pi ( \frac{{\sqrt{2}}}{2} )^{2} \frac{{\sqrt{6}}}{2} = \frac{{\sqrt{6}}}{12} \pi , V_{2} = 0$ 이다.

따라서 회전체의 부피 $\displaystyle V ( = V_{1} + V_{2} )$ 는 $\displaystyle \frac{{\sqrt{6}}}{12} \pi$ 이다.