자연계열 1번

닫힌 구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속인 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle f(a)$와 $\displaystyle f(b)$ 사이의 값 $\displaystyle k$에 대하여 방정식 $\displaystyle f(x)-k=0$을 만족하는 근을 구간 $\displaystyle [a,b]$에서 적어도 하나 가진다.

함수 $\displaystyle f(x)$가 미분가능할 때, 방정식 $\displaystyle f(x)=0$을 만족하는 근 $\displaystyle \alpha$를 구하는 뉴턴의 방법은 다음과 같다. 먼저 $\displaystyle \alpha$에 대한 적당한 근삿값 $\displaystyle x_0$을 선택한다. 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle (x_0,f(x_0))$에서 접선을 구하고 접선의 $\displaystyle x$절편 $\displaystyle x_1$을 계산한다. $\displaystyle x_1$은 $\displaystyle x_0$보다 $\displaystyle \alpha$에 더 가까운 값이 되며 제1차 근삿값이라 한다. $\displaystyle x_1$을 $\displaystyle x_0$대신 사용하여 위의 과정을 따라가면, $\displaystyle x_1$보다 $\displaystyle \alpha$에 더 가까운 값 $\displaystyle x_2$를 구할 수 있고 이를 제2차 근삿값이라 한다. 이러한 과정을 계속 반복하면 근에 수렴하는 수열 $\displaystyle x_0,x_1,x_2,\cdots$을 얻을 수 있고, 이를 통해 근에 보다 가까운 근삿값을 구할 수 있다.

아래 그림은 길이와 밀도가 똑같은 두 개의 나무기둥 A, B의 수평 단면에 좌표축을 설정하여 살펴 본 그래프이다. A의 무게가 B의 무게보다 훨씬 가벼울 경우 무게가 같아지도록 나무기둥 B를 절단하는 방법을 알아보자. A의 단면은 $\displaystyle y=f(x)$와 $\displaystyle x$축으로 둘러싸여 있고, B의 단면은 $\displaystyle y=g(x)$와 $\displaystyle x$축으로 둘러싸여 있다. $\displaystyle a_0$는 A의 단면적이고, $\displaystyle a(t)$는 B단면의 빗금 친 부분의 면적이다. $\displaystyle S(t)=a(t)-a_0$이라 하면, $\displaystyle S(t)$는 닫힌 구간 $\displaystyle [-1,1]$에서 연속인 함수가 된다. 방정식 $\displaystyle S(t)=0$을 만족하는 근 $\displaystyle \alpha$를 구하고 절단선 $\displaystyle x=\alpha$를 따라 나무기둥 B를 잘라내면, 무게가 A와 같은 나무기둥을 얻을 수 있다.