자연계열 II 1번

【물음 1】【제시문 3】의 조건을 만족하는 다트판에서, 철수가 다트를 던져서 숫자 $\displaystyle k$가 나올 확률 $\displaystyle a_k$는 $\displaystyle a_k=\left(\frac{1}{m}\right)^{k-1}-\left(\frac{1}{m}\right)^k$이다. 따라서$\displaystyle \text{㉮}=\text{㉰}=\frac{1}{m},\ \text{㉯}=k-1,\ \text{㉱}=k$이고 ㉮−㉯−㉰+㉱=1이다.

【물음 2】【물음 1】의 수열 $\displaystyle a_k=\left(\frac{1}{m}\right)^{k-1}-\left(\frac{1}{m}\right)^k$에 대하여 무한급수 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k$의 부분합 $\displaystyle S_n$은 $\displaystyle S_n=1-\left(\frac{1}{m}\right)^n$이다. $\displaystyle m$이 $\displaystyle 2$ 이상의 자연수이므로 $\displaystyle 0<\frac{1}{m}<1$이다. 따라서 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n$이 수렴하고 그 극한값은 $\displaystyle 1$이다. 그러므로 【제시문 1】에 근거하여 무한급수 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k=1$이다.

【물음 3】$\displaystyle b_{10}=\sum_{k=10}^{\infty}a_k=\left(\frac{1}{m}\right)^9$이다. 따라서 【제시문 2】로부터 기댓값 $\displaystyle E(X^2)$는$\displaystyle \begin{aligned}E(X^2)&=\sum_{k=1}^{10}k^2b_k=\sum_{k=1}^9 k^2\left(\left(\frac{1}{m}\right)^{k-1}-\left(\frac{1}{m}\right)^k\right)+10^2b_{10}\\&=\sum_{k=1}^9(2k-1)\left(\frac{1}{m}\right)^{k-1}-9^2\left(\frac{1}{m}\right)^9+10^2b_{10}\end{aligned}$가 된다. 여기에서 $\displaystyle S=\sum_{k=1}^9(2k-1)\left(\frac{1}{m}\right)^{k-1}$라고 두면$\displaystyle \begin{aligned}\left(1-\frac{1}{m}\right)S&=1+2\sum_{k=1}^8\left(\frac{1}{m}\right)^k-17\left(\frac{1}{m}\right)^9\\&=1+2\frac{\frac{1}{m}-\left(\frac{1}{m}\right)^9}{1-\frac{1}{m}}-17\left(\frac{1}{m}\right)^9\end{aligned}$이므로$\displaystyle S=\left(1-\frac{1}{m}\right)^{-1}\left[1+2\frac{\frac{1}{m}-\left(\frac{1}{m}\right)^9}{1-\frac{1}{m}}-17\left(\frac{1}{m}\right)^9\right]$이다. 따라서$\displaystyle E(X^2)=\left(1-\frac{1}{m}\right)^{-1}\left[1+2\frac{\frac{1}{m}-\left(\frac{1}{m}\right)^9}{1-\frac{1}{m}}-17\left(\frac{1}{m}\right)^9\right]-9^2\left(\frac{1}{m}\right)^9+10^2b_{10}$이 된다.