자연계열 II 1번

무한수열 $\displaystyle \{a_n\}$에 대하여, $\displaystyle a_1+a_2+\cdots+a_n+\cdots$을 무한급수라 하고 시그마 기호 $\displaystyle \sum$를 사용하여 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k$와 같이 나타낸다. 무한급수 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k$에서 음이 아닌 정수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n a_k$를 이 무한급수의 제 $\displaystyle n$항까지의 부분합이라고 한다. 이 부분합으로 이루어진 수열 $\displaystyle S_1,S_2,\cdots$이 일정한 값 $\displaystyle S$에 수렴할 때, 즉 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n=S$이면 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k$는 $\displaystyle S$에 수렴한다고 하고, $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}a_k=S$로 나타낸다. 무한등비급수 $\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}ar^{k-1}=a+ar+ar^2+\cdots$ ($\displaystyle a\ne0$)에 대하여 $\displaystyle |r|<1$일 때, 이 무한등비급수는 수렴하고 그 합은 $\displaystyle \frac{a}{1-r}$이다.

이산확률변수 $\displaystyle X$가 취할 수 있는 값이 $\displaystyle x_1,x_2,\cdots,x_n$이고 $\displaystyle X$가 이 값을 취할 확률이 각각$\displaystyle P(X=x_i)=p_i\ (i=1,\cdots,n)$라고 할 때, $\displaystyle x_1,x_2,\cdots,x_n$와 $\displaystyle p_1,p_2,\cdots,p_n$의 대응 관계를 이산확률변수 $\displaystyle X$의 확률분포 또는 간단히 이산확률분포라고 한다. 그리고 $\displaystyle P(X=x_i)=p_i$를 이산확률변수 $\displaystyle X$의 확률질량함수라고 한다. 이 확률질량함수는 다음의 두 가지 확률의 기본성질을 만족한다.(1) $\displaystyle 0\le p_i\le1\ (i=1,2,\cdots,n)$(2) $\displaystyle \sum_{i=1}^n p_i=1$.

또한, 이산확률변수 $\displaystyle X$의 기댓값 $\displaystyle E(X)$는 다음과 같이 정의한다.$\displaystyle E(X)=x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n=\sum_{i=1}^n x_ip_i$

정사각형 모양의 나무판을 이용하여 다음과 같이 다트판을 만들었다. 먼저 나무판을 넓이가 같도록 $\displaystyle m$개의 영역으로 나눈다. 그 중 한 영역을 임의로 선택하여 넓이가 같은 $\displaystyle m$개의 작은 영역으로 다시 나눈다. 이러한 과정을 반복하여 나무판을 계속 나누어 간다. 다트판의 점수는 다음과 같은 방법으로 부여한다.“$\displaystyle k$단계에서 선택되지 않은 영역은 $\displaystyle k-1$을 부여”즉, 첫 단계에서 선택되어지지 않은 영역에는 0점, 두 번째 단계에서 선택되어지지 않은 영역은 1점을 부여하는 식이다.Correction. 다트판의 $\displaystyle k$단계에서 선택되지 않은 영역에 주는 점수 $\displaystyle k-1$은 $\displaystyle k$의 오기이다. 따라서 첫 단계의 $\displaystyle 0$점과 두 번째 단계의 $\displaystyle 1$점은 각각 $\displaystyle 1$점과 $\displaystyle 2$점의 오기이다. 그림과 대학 예시답안은 모두 $\displaystyle 1$점부터 세며, 이때 물음 3에서 주어진 확률의 합이 $\displaystyle 1$이 된다. 그러나 원칙에 따라 원문 표기를 그대로 실었다.