수리논술, 이게 다다.

자연계열 I 1번

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경북대 2025학년도 모의 자연계열 I 1번 · mathesis.kr/archive/knu/2025mo/jayeon1_1

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(가) 계승 n!=n×(n−1)×(n−2)×⋯×3×2×1\displaystyle n!=n\times(n-1)\times(n-2)\times\cdots\times3\times2\times1, 0!=1\displaystyle 0!=1(1) 서로 다른 n\displaystyle n개에서 r\displaystyle r개를 택하는 순열의 수는nPr=n!(n−r)!\displaystyle {}_{n}\mathrm P_r=\dfrac{n!}{(n-r)!} (단, 0≤r≤n\displaystyle 0\le r\le n)(2) 서로 다른 n\displaystyle n개에서 r\displaystyle r개를 택하는 조합의 수는nCr=nPrr!=n!r!(n−r)!\displaystyle {}_{n}\mathrm C_r=\dfrac{{}_{n}\mathrm P_r}{r!}=\dfrac{n!}{r!(n-r)!} (단, 0≤r≤n\displaystyle 0\le r\le n)

(나) ∫ln⁡x dx=xln⁡x−x+C\displaystyle \int\ln x\,dx=x\ln x-x+C (단, C\displaystyle C는 적분상수)

(다) 두 수열 {an}\displaystyle \{a_n\}, {bn}\displaystyle \{b_n\}이 각각 수렴하고lim⁡n→∞an=α\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\alpha, lim⁡n→∞bn=β\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=\beta일 때, 수열 {cn}\displaystyle \{c_n\}이 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 an≤cn≤bn\displaystyle a_n\le c_n\le b_n이고 α=β\displaystyle \alpha=\beta이면 수열 {cn}\displaystyle \{c_n\}은 수렴하고lim⁡n→∞cn=α\displaystyle \lim_{n\to\infty}c_n=\alpha

※ 모든 문항에서 풀이 과정을 반드시 기술하시오.

자연수 n\displaystyle n에 대하여 집합 X={x∣1≤x≤2n, x는 자연수}\displaystyle X=\{x\mid1\le x\le2n,\ x\text{는 자연수}\}라 할 때, 다음 조건을 만족시키는 일대일 대응 f:X→X\displaystyle f:X\to X의 개수를 an\displaystyle a_n이라 하자.

모든 x∈X\displaystyle x\in X에 대하여, f(x)≠x\displaystyle f(x)\ne x이고 f∘f(x)=x\displaystyle f\circ f(x)=x이다.

다음 물음에 답하시오.

【1-1】 a2\displaystyle a_2, a3\displaystyle a_3, a4\displaystyle a_4의 값을 각각 구하시오. (30점)

【1-2】 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여, 다음의 부등식이 성립함을 보이시오. (30점)∫1nln⁡x dx≤ln⁡(n!)\displaystyle \int_1^n\ln x\,dx\le\ln(n!)

【1-3】 두 수열 {bn}\displaystyle \{b_n\}과 {cn}\displaystyle \{c_n\}이 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여bn=(2n)!2nan\displaystyle b_n=\dfrac{(2n)!}{2^na_n}이고 n!3n≤cn≤n!3n\displaystyle \sqrt{\dfrac{n!}{3^n}}\le c_n\le\sqrt{n!3^n}일 때, lim⁡n→∞ln⁡cnln⁡bn\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{\ln c_n}{\ln b_n}의 값을 구하시오. (60점)

해설강의 준비중

경북대 2025학년도 모의 자연계열 I 1번 · mathesis.kr/archive/knu/2025mo/jayeon1_1

+30점 · 답 a2=3\displaystyle a_2=3, a3=15\displaystyle a_3=15, a4=105\displaystyle a_4=105를 구하면 각 10점

【1-1】 집합 X={1,2,⋯ ,2n}\displaystyle X=\{1,2,\cdots,2n\}에 속하는 원소 k\displaystyle k에 대하여 f(k)=l\displaystyle f(k)=l이라 하자. 함수 f(x)\displaystyle f(x)는 X\displaystyle X의 모든 원소 x\displaystyle x에 대하여 f(x)≠x\displaystyle f(x)\ne x이므로 k≠l\displaystyle k\ne l이다. 또한, 함수 f(x)\displaystyle f(x)는 X\displaystyle X의 모든 원소 x\displaystyle x에 대하여 f∘f(x)=x\displaystyle f\circ f(x)=x이므로 f(l)=k\displaystyle f(l)=k이다. 따라서, an\displaystyle a_n은 서로 다른 2n\displaystyle 2n개의 원소를 2\displaystyle 2개씩 짝을 짓는 경우의 수와 같다. 따라서,a2=4C2×2C22!=3,a3=6C2×4C2×2C23!=15,a4=8C2×6C2×4C2×2C24!=105\displaystyle a_2=\dfrac{{}_{4}\mathrm C_2\times{}_{2}\mathrm C_2}{2!}=3,\quad a_3=\dfrac{{}_{6}\mathrm C_2\times{}_{4}\mathrm C_2\times{}_{2}\mathrm C_2}{3!}=15,\quad a_4=\dfrac{{}_{8}\mathrm C_2\times{}_{6}\mathrm C_2\times{}_{4}\mathrm C_2\times{}_{2}\mathrm C_2}{4!}=105이다.

+15점 · ln⁡(n!)=∑k=1nln⁡k\displaystyle \ln(n!)=\sum_{k=1}^n\ln k임을 보이면

【1-2】 ln⁡(n!)=∑k=1nln⁡k\displaystyle \ln(n!)=\sum_{k=1}^n\ln k이다.

+15점 · ∫1nln⁡x dx≤∑k=1nln⁡k\displaystyle \int_1^n\ln x\,dx\le\sum_{k=1}^n\ln k임을 증명하면

따라서, 아래 그림에서 ∫1nln⁡x dx≤ln⁡(n!)\displaystyle \int_1^n\ln x\,dx\le\ln(n!)가 성립한다.

y=ln x 그래프와 오른쪽 끝점 높이의 직사각형을 비교한 대학 원본 그림
+20점 · 수열 {an}\displaystyle \{a_n\}의 일반항 an=(2n)!2nn!\displaystyle a_n=\dfrac{(2n)!}{2^nn!}을 구하면

【1-3】 수열 {an}\displaystyle \{a_n\}의 일반항은 an=2nC2×⋯×2C2n!=(2n)!2nn!\displaystyle a_n=\dfrac{{}_{2n}\mathrm C_2\times\cdots\times{}_{2}\mathrm C_2}{n!}=\dfrac{(2n)!}{2^nn!}이다. bn=(2n)!2nan\displaystyle b_n=\dfrac{(2n)!}{2^na_n}이므로, 따라서 bn=n!\displaystyle b_n=n!이다.

+10점 · 부등식 ln⁡(n!3n)ln⁡(n!)≤ln⁡cnln⁡bn≤ln⁡(n!3n)ln⁡(n!)\displaystyle \dfrac{\ln\left(\sqrt{\dfrac{n!}{3^n}}\right)}{\ln(n!)}\le\dfrac{\ln c_n}{\ln b_n}\le\dfrac{\ln\left(\sqrt{n!3^n}\right)}{\ln(n!)}을 구하면

모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 n!3n≤cn≤n!3n\displaystyle \sqrt{\dfrac{n!}{3^n}}\le c_n\le\sqrt{n!3^n}이므로ln⁡(n!3n)ln⁡(n!)≤ln⁡cnln⁡bn≤ln⁡(n!3n)ln⁡(n!)\displaystyle \dfrac{\ln\left(\sqrt{\dfrac{n!}{3^n}}\right)}{\ln(n!)}\le\dfrac{\ln c_n}{\ln b_n}\le\dfrac{\ln\left(\sqrt{n!3^n}\right)}{\ln(n!)}이다. 한편,ln⁡(n!3n)ln⁡(n!)=ln⁡(n!)−nln⁡32ln⁡(n!)=12−nln⁡32ln⁡(n!)\displaystyle \dfrac{\ln\left(\sqrt{\dfrac{n!}{3^n}}\right)}{\ln(n!)}=\dfrac{\ln(n!)-n\ln3}{2\ln(n!)}=\dfrac12-\dfrac{n\ln3}{2\ln(n!)}이고 ln⁡(n!3n)ln⁡(n!)=ln⁡(n!)+nln⁡32ln⁡(n!)=12+nln⁡32ln⁡(n!)\displaystyle \dfrac{\ln\left(\sqrt{n!3^n}\right)}{\ln(n!)}=\dfrac{\ln(n!)+n\ln3}{2\ln(n!)}=\dfrac12+\dfrac{n\ln3}{2\ln(n!)}이다.

+10점 · 부등식 0≤nln⁡32ln⁡(n!)≤ln⁡32(ln⁡n−1+1n)\displaystyle 0\le\dfrac{n\ln3}{2\ln(n!)}\le\dfrac{\ln3}{2\left(\ln n-1+\dfrac1n\right)}을 구하면

이때, 【1-2】와 제시문 (나)에 의해0≤nln⁡32ln⁡(n!)≤nln⁡32∫1nln⁡x dx=nln⁡32(nln⁡n−n+1)=ln⁡32(ln⁡n−1+1n)\displaystyle 0\le\dfrac{n\ln3}{2\ln(n!)}\le\dfrac{n\ln3}{2\int_1^n\ln x\,dx}=\dfrac{n\ln3}{2(n\ln n-n+1)}=\dfrac{\ln3}{2\left(\ln n-1+\dfrac1n\right)}

+5점 · 극한값 lim⁡n→∞nln⁡32ln⁡(n!)=0\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{n\ln3}{2\ln(n!)}=0을 구하면

이고 제시문 (다)에 의해 lim⁡n→∞nln⁡32ln⁡(n!)=0\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{n\ln3}{2\ln(n!)}=0이다.

+10점 · lim⁡n→∞ln⁡(n!3n)ln⁡(n!)=12\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{\ln\left(\sqrt{\dfrac{n!}{3^n}}\right)}{\ln(n!)}=\dfrac12, lim⁡n→∞ln⁡(n!3n)ln⁡(n!)=12\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{\ln\left(\sqrt{n!3^n}\right)}{\ln(n!)}=\dfrac12을 구하면 각 5점

그러므로lim⁡n→∞ln⁡(n!3n)ln⁡(n!)=lim⁡n→∞(12−nln⁡32ln⁡(n!))=12\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{\ln\left(\sqrt{\dfrac{n!}{3^n}}\right)}{\ln(n!)}=\lim_{n\to\infty}\left(\dfrac12-\dfrac{n\ln3}{2\ln(n!)}\right)=\dfrac12이고 lim⁡n→∞ln⁡(n!3n)ln⁡(n!)=lim⁡n→∞(12+nln⁡32ln⁡(n!))=12\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{\ln\left(\sqrt{n!3^n}\right)}{\ln(n!)}=\lim_{n\to\infty}\left(\dfrac12+\dfrac{n\ln3}{2\ln(n!)}\right)=\dfrac12이다.

+5점 · 답 lim⁡n→∞ln⁡cnln⁡bn=12\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{\ln c_n}{\ln b_n}=\dfrac12을 구하면

따라서, 제시문 (다)에 의해 lim⁡n→∞ln⁡cnln⁡bn=12\displaystyle \lim_{n\to\infty}\dfrac{\ln c_n}{\ln b_n}=\dfrac12이다.

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