수리논술, 이게 다다.

자연계열 I 1번

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경북대 2025학년도 수시 자연계열 I 1번 · mathesis.kr/archive/knu/2025su/jayeon1_1

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문제

(가) 등비급수 ∑n=1∞arn−1\displaystyle \sum_{n=1}^\infty ar^{n-1} (a≠0\displaystyle a\ne0)은(ⅰ) ∣r∣<1\displaystyle |r|<1일 때 수렴하고, 그 합은 a1−r\displaystyle \dfrac a{1-r}이다.(ⅱ) ∣r∣≥1\displaystyle |r|\ge1일 때 발산한다.

(나) 삼각함수의 덧셈정리sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\displaystyle \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\betasin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\displaystyle \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\betacos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\displaystyle \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\betacos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\displaystyle \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta

(다) 자연수 n\displaystyle n에 대하여 명제 p(n)\displaystyle p(n)이 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 성립함을 증명하려면 다음 두 가지를 보이면 된다.(ⅰ) n=1\displaystyle n=1일 때, 명제 p(n)\displaystyle p(n)이 성립한다.(ⅱ) n=k\displaystyle n=k일 때, 명제 p(n)\displaystyle p(n)이 성립한다고 가정하면 n=k+1\displaystyle n=k+1일 때에도 명제 p(n)\displaystyle p(n)이 성립한다.

(라) 함수 f(x)\displaystyle f(x)가 닫힌구간 [a,b]\displaystyle [a,b]에서 연속일 때∫abf(x) dx=lim⁡n→∞∑k=1nf(xk)Δx\displaystyle \int_a^bf(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^nf(x_k)\Delta x (단, Δx=b−an\displaystyle \Delta x=\dfrac{b-a}n, xk=a+kΔx\displaystyle x_k=a+k\Delta x)

그림과 같이 ∠A1OB1=θ\displaystyle \angle\mathrm A_1\mathrm O\mathrm B_1=\theta이고 ∠OA1B1=π2\displaystyle \angle\mathrm O\mathrm A_1\mathrm B_1=\dfrac\pi2인 삼각형 OA1B1\displaystyle \mathrm O\mathrm A_1\mathrm B_1이 있다. 선분 A1B1\displaystyle \mathrm A_1\mathrm B_1의 길이를 h1\displaystyle h_1이라 하자. 점 A1\displaystyle \mathrm A_1에서 선분 OB1\displaystyle \mathrm O\mathrm B_1에 내린 수선의 발을 B2\displaystyle \mathrm B_2, 점 B2\displaystyle \mathrm B_2에서 선분 OA1\displaystyle \mathrm O\mathrm A_1에 내린 수선의 발을 A2\displaystyle \mathrm A_2라 하고, 이때 선분 A2B2\displaystyle \mathrm A_2\mathrm B_2의 길이를 h2\displaystyle h_2라 하자. 점 A2\displaystyle \mathrm A_2에서 선분 OB1\displaystyle \mathrm O\mathrm B_1에 내린 수선의 발을 B3\displaystyle \mathrm B_3, 점 B3\displaystyle \mathrm B_3에서 선분 OA1\displaystyle \mathrm O\mathrm A_1에 내린 수선의 발을 A3\displaystyle \mathrm A_3이라 하고, 이때 선분 A3B3\displaystyle \mathrm A_3\mathrm B_3의 길이를 h3\displaystyle h_3이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 얻은 k\displaystyle k번째 선분 AkBk\displaystyle \mathrm A_k\mathrm B_k의 길이를 hk\displaystyle h_k라 하자.

직각삼각형에서 수선을 반복하여 내린 점 A와 B 및 높이 h의 원본 그림

선분 OB1\displaystyle \mathrm O\mathrm B_1의 길이가 j2\displaystyle j^2이고 θ\displaystyle \theta가 cos⁡(θ+π6)=35−18\displaystyle \cos\left(\theta+\dfrac\pi6\right)=\dfrac{3\sqrt5-1}8을 만족할 때, ∑k=1∞hk\displaystyle \sum_{k=1}^\infty\sqrt{h_k}의 값을 Sj\displaystyle S_j라 하자. (단, j\displaystyle j는 자연수)

다음 물음에 답하시오.

【1-1】 S1=(ㄱ)+(ㄴ)15\displaystyle S_1=\boxed{\text{(ㄱ)}}+\boxed{\text{(ㄴ)}}\sqrt{15}이다. (ㄱ)과 (ㄴ)에 알맞은 자연수를 각각 구하시오. (40점)

【1-2】 다음은 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 등식1−12+13−14+⋯+12n−1−12n=∑i=1n1n+i\displaystyle 1-\dfrac12+\dfrac13-\dfrac14+\cdots+\dfrac1{2n-1}-\dfrac1{2n}=\sum_{i=1}^n\dfrac1{n+i}이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명한 것이다.

〈증명〉(1) n=1\displaystyle n=1일 때, (좌변)=(ㄷ)=\displaystyle =\boxed{\text{(ㄷ)}}=(우변)이므로 주어진 등식은 성립한다.(2) n=k\displaystyle n=k일 때, 주어진 등식이 성립한다고 가정하면1−12+13−14+⋯+12k−1−12k=∑i=1k1k+i\displaystyle 1-\dfrac12+\dfrac13-\dfrac14+\cdots+\dfrac1{2k-1}-\dfrac1{2k}=\sum_{i=1}^k\dfrac1{k+i}이다. n=k+1\displaystyle n=k+1일 때 성립함을 보이자.1−12+13−14+⋯+12k−1−12k+12k+1−12k+2=∑i=1k1k+i+12k+1−12k+2=∑i=2k+11k+i+1(ㄹ)=∑i=1k+11(ㅁ)\displaystyle \begin{aligned}&1-\dfrac12+\dfrac13-\dfrac14+\cdots+\dfrac1{2k-1}-\dfrac1{2k}+\dfrac1{2k+1}-\dfrac1{2k+2}\\&=\sum_{i=1}^k\dfrac1{k+i}+\dfrac1{2k+1}-\dfrac1{2k+2}\\&=\sum_{i=2}^{k+1}\dfrac1{k+i}+\dfrac1{\boxed{\text{(ㄹ)}}}\\&=\sum_{i=1}^{k+1}\dfrac1{\boxed{\text{(ㅁ)}} }\end{aligned}따라서 n=k+1\displaystyle n=k+1일 때도 성립한다.(1), (2)에 의하여 주어진 등식은 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 성립한다.

위의 (ㄷ)에 알맞은 수, (ㄹ)에 알맞은 k\displaystyle k에 관한 식, (ㅁ)에 알맞은 i\displaystyle i와 k\displaystyle k에 관한 식을 각각 구하시오. (30점)

【1-3】 극한값lim⁡n→∞∑j=12n(−1)j+12Sj+15ln⁡2=ln⁡(ㅂ)\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{j=1}^{2n}(-1)^{j+1}\dfrac2{S_j}+\sqrt{15}\ln2=\ln\boxed{\text{(ㅂ)}}이다. (ㅂ)에 알맞은 자연수를 구하시오. (50점)

해설강의 준비중

경북대 2025학년도 수시 자연계열 I 1번 · mathesis.kr/archive/knu/2025su/jayeon1_1

+20점 · j=1\displaystyle j=1일 때 S1=∑k=1∞hk=sin⁡θ1−cos⁡θ\displaystyle S_1=\sum_{k=1}^\infty\sqrt{h_k}=\dfrac{\sqrt{\sin\theta}}{1-\cos\theta}임을 보인 경우

【1-1】수열 hk=(sin⁡θ)(cos⁡2k−2θ)\displaystyle h_k=(\sin\theta)(\cos^{2k-2}\theta)는 초항이 sin⁡θ\displaystyle \sin\theta, 공비가 cos⁡2θ\displaystyle \cos^2\theta인 등비수열이므로 제시문 (가)에 의해 ∑k=1∞hk=sin⁡θ1−cos⁡θ\displaystyle \sum_{k=1}^\infty\sqrt{h_k}=\dfrac{\sqrt{\sin\theta}}{1-\cos\theta}이다.

+10점 · sin⁡θ=14\displaystyle \sin\theta=\dfrac14, cos⁡θ=154\displaystyle \cos\theta=\dfrac{\sqrt{15}}4임을 구한 경우

한편, cos⁡(θ+π6)=35−18\displaystyle \cos\left(\theta+\dfrac\pi6\right)=\dfrac{3\sqrt5-1}8이고 cos⁡(θ+π6)=32cos⁡θ−12sin⁡θ\displaystyle \cos\left(\theta+\dfrac\pi6\right)=\dfrac{\sqrt3}2\cos\theta-\dfrac12\sin\theta이므로cos⁡θ=13sin⁡θ+35−143\displaystyle \cos\theta=\dfrac1{\sqrt3}\sin\theta+\dfrac{3\sqrt5-1}{4\sqrt3}이다. 다시, sin⁡2θ+cos⁡2θ=1\displaystyle \sin^2\theta+\cos^2\theta=1이므로 연립하여 정리하면32sin⁡2θ+(125−4)sin⁡θ−(1+35)=0\displaystyle 32\sin^2\theta+(12\sqrt5-4)\sin\theta-(1+3\sqrt5)=0이고, 이것을 인수분해하면(4sin⁡θ−1)(8sin⁡θ+1+35)=0\displaystyle (4\sin\theta-1)(8\sin\theta+1+3\sqrt5)=0이다. 0<θ<π2\displaystyle 0<\theta<\dfrac\pi2이므로 sin⁡θ=14\displaystyle \sin\theta=\dfrac14이고, cos⁡θ=154\displaystyle \cos\theta=\dfrac{\sqrt{15}}4이다.

+10점 · (ㄱ)=8\displaystyle =8, (ㄴ)=2\displaystyle =2를 구한 경우

따라서, ∑k=1∞hk=121−154=24−15=8+215\displaystyle \sum_{k=1}^\infty\sqrt{h_k}=\dfrac{\dfrac12}{1-\dfrac{\sqrt{15}}4}=\dfrac2{4-\sqrt{15}}=8+2\sqrt{15}이다. 즉, (ㄱ)은 8\displaystyle 8 (ㄴ)은 2\displaystyle 2이다.

+10점 · (ㄷ)=12\displaystyle =\dfrac12를 구한 경우
+10점 · (ㄹ)=2k+2\displaystyle =2k+2를 구한 경우
+10점 · (ㅁ)=k+i+1\displaystyle =k+i+1을 구한 경우

【1-2】모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 등식1−12+13−14+⋯+12n−1−12n=∑i=1n1n+i\displaystyle 1-\dfrac12+\dfrac13-\dfrac14+\cdots+\dfrac1{2n-1}-\dfrac1{2n}=\sum_{i=1}^n\dfrac1{n+i}이 성립함을 수학적 귀납법으로 증명하면 다음과 같다.〈증명〉(1) n=1\displaystyle n=1일 때, (좌변)=12=\displaystyle =\dfrac12=(우변)이므로 주어진 등식은 성립한다.(2) n=k\displaystyle n=k일 때, 성립한다고 가정하면1−12+13−14+⋯+12k−1−12k=∑i=1k1k+i\displaystyle 1-\dfrac12+\dfrac13-\dfrac14+\cdots+\dfrac1{2k-1}-\dfrac1{2k}=\sum_{i=1}^k\dfrac1{k+i}이다. n=k+1\displaystyle n=k+1일 때 성립함을 보이자.1−12+13−14+⋯+12k−1−12k+12k+1−12k+2=∑i=1k1k+i+12k+1−12k+2=∑i=2k+11k+i+12k+2=∑i=1k+11(k+1)+i\displaystyle \begin{aligned}&1-\dfrac12+\dfrac13-\dfrac14+\cdots+\dfrac1{2k-1}-\dfrac1{2k}+\dfrac1{2k+1}-\dfrac1{2k+2}\\&=\sum_{i=1}^k\dfrac1{k+i}+\dfrac1{2k+1}-\dfrac1{2k+2}\\&=\sum_{i=2}^{k+1}\dfrac1{k+i}+\dfrac1{2k+2}\\&=\sum_{i=1}^{k+1}\dfrac1{(k+1)+i }\end{aligned}그러므로 n=k+1\displaystyle n=k+1일 때도 성립한다. 따라서 모든 자연수 n\displaystyle n에 대하여 주어진 등식은 성립한다.그러므로 (ㄷ)은 12\displaystyle \dfrac12, (ㄹ)은 2k+2\displaystyle 2k+2, (ㅁ)은 k+i+1\displaystyle k+i+1이다.

+10점 · Sj=jsin⁡θ1−cos⁡θ\displaystyle S_j=\dfrac{j\sqrt{\sin\theta}}{1-\cos\theta} 또는 Sj=j(8+215)\displaystyle S_j=j(8+2\sqrt{15})임을 보인 경우

【1-3】Sj=jsin⁡θ1−cos⁡θ=j(8+215)\displaystyle S_j=\dfrac{j\sqrt{\sin\theta}}{1-\cos\theta}=j(8+2\sqrt{15})

+15점 · ∑j=12n(−1)j+12Sj=14+15∑i=1n1n+i\displaystyle \sum_{j=1}^{2n}(-1)^{j+1}\dfrac2{S_j}=\dfrac1{4+\sqrt{15}}\sum_{i=1}^n\dfrac1{n+i}임을 보인 경우

이므로 【1-2】에 의해∑j=12n(−1)j+12Sj=2(1S1−1S2+1S3−1S4+⋯+1S2n−1−1S2n)=14+15(1−12+13−14+⋯+12n−1−12n)=14+15∑i=1n1n+i\displaystyle \begin{aligned}\sum_{j=1}^{2n}(-1)^{j+1}\dfrac2{S_j}&=2\left(\dfrac1{S_1}-\dfrac1{S_2}+\dfrac1{S_3}-\dfrac1{S_4}+\cdots+\dfrac1{S_{2n-1}}-\dfrac1{S_{2n}}\right)\\&=\dfrac1{4+\sqrt{15}}\left(1-\dfrac12+\dfrac13-\dfrac14+\cdots+\dfrac1{2n-1}-\dfrac1{2n}\right)\\&=\dfrac1{4+\sqrt{15}}\sum_{i=1}^n\dfrac1{n+i}\end{aligned}이다.

+15점 · lim⁡n→∞∑i=1n1n+i=∫0111+x dx\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\dfrac1{n+i}=\int_0^1\dfrac1{1+x}\,dx임을 보인 경우

제시문 (라)에 의해lim⁡n→∞∑j=12n(−1)j+12Sj=14+15lim⁡n→∞∑i=1n1n+i=14+15lim⁡n→∞∑i=1n11+in1n=14+15∫0111+x dx=14+15[ln⁡∣1+x∣]01=(4−15)ln⁡2\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}\sum_{j=1}^{2n}(-1)^{j+1}\dfrac2{S_j}&=\dfrac1{4+\sqrt{15}}\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\dfrac1{n+i}\\&=\dfrac1{4+\sqrt{15}}\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\dfrac1{1+\dfrac in}\dfrac1n\\&=\dfrac1{4+\sqrt{15}}\int_0^1\dfrac1{1+x}\,dx\\&=\dfrac1{4+\sqrt{15}}\Biggl[\ln|1+x|\Biggr]_0^1\\&=(4-\sqrt{15})\ln2\end{aligned}

+10점 · (ㅂ)=16\displaystyle =16을 구한 경우

따라서, lim⁡n→∞∑j=12n(−1)j+12Sj+15ln⁡2=4ln⁡2=ln⁡16\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sum_{j=1}^{2n}(-1)^{j+1}\dfrac2{S_j}+\sqrt{15}\ln2=4\ln2=\ln16이다. 즉, (ㅂ)은 16\displaystyle 16이다.

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