자연계열 I 2번

【2-1】 모든 $\displaystyle 0<x\le1$에서 $\displaystyle f(x)=g(x)$를 만족하는 실수 집합 전체에서 정의된 이차함수를 $\displaystyle g(x)=ax^2+bx+c$라고 하자. $\displaystyle f(x)$가 연속함수이므로, 제시문 (가), (나)에 의해 다음이 성립한다.$\displaystyle 0=f(0)=\lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}g(x)=c$이고 $\displaystyle 1=\lim_{x\to1^+}f(x)=f(1)=a+b+c$

두 등식에 의해 $\displaystyle g(x)=ax^2+(1-a)x=a\left(x-\dfrac{a-1}{2a}\right)^2+\dfrac{(a-1)^2}{-4a}$이다. $\displaystyle x\le0$ 또는 $\displaystyle x\ge1$일 때는 $\displaystyle f(x)<\dfrac{25}{16}$이므로, $\displaystyle 0<x<1$에서 함수 $\displaystyle f(x)$는 최댓값 $\displaystyle \dfrac{25}{16}$을 가진다. 그러므로 $\displaystyle \dfrac{(a-1)^2}{-4a}=\dfrac{25}{16}$이다.

$\displaystyle a\le-2$이므로 $\displaystyle a=-4$이다. $\displaystyle c=0$이므로 $\displaystyle a+b=1$이고 $\displaystyle b=1-a=5$이다.

【2-2】 함수 $\displaystyle (f\circ f)(x)$는 다음과 같다.$\displaystyle (f\circ f)(x)=\begin{cases}0&(f(x)\le0)\\-4f(x)^2+5f(x)&(0<f(x)\le1)\\1&(f(x)>1)\end{cases}$(ⅰ) $\displaystyle x\le0$이면 $\displaystyle f(x)\le0$; (ⅱ) $\displaystyle x>\dfrac14$이면 $\displaystyle f(x)\ge1$; (ⅲ) $\displaystyle 0<x\le\dfrac14$이면 $\displaystyle 0<f(x)\le1$이고, 이를 이용하면 함수 $\displaystyle (f\circ f)(x)$는 다음과 같다.$\displaystyle (f\circ f)(x)=\begin{cases}0&(x\le0)\\-4(-4x^2+5x)^2+5(-4x^2+5x)&\left(0<x\le\dfrac14\right)\\1&\left(x>\dfrac14\right)\end{cases}$ ········ (*)

그러므로 함수 $\displaystyle (f\circ f)(x)$는 $\displaystyle x\ne0$이고 $\displaystyle x\ne\dfrac14$인 모든 $\displaystyle x$에서 미분가능하다.

$\displaystyle \lim_{h\to0^+}\dfrac{(f\circ f)(0+h)-(f\circ f)(0)}h=\lim_{h\to0^+}\dfrac{g(g(h))-0}h=25$,$\displaystyle \lim_{h\to0^-}\dfrac{(f\circ f)(0+h)-(f\circ f)(0)}h=\lim_{h\to0^-}\dfrac{0-0}h=0$그러므로 제시문 (가)와 (다)에 의해 함수 $\displaystyle (f\circ f)(x)$는 $\displaystyle x=0$에서 미분가능하지 않다.

$\displaystyle \lim_{h\to0^-}\dfrac{(f\circ f)\left(\dfrac14+h\right)-(f\circ f)\left(\dfrac14\right)}h=\lim_{h\to0^-}\dfrac{g\left(g\left(\dfrac14+h\right)\right)-g\left(g\left(\dfrac14\right)\right)}h=-9$,$\displaystyle \lim_{h\to0^+}\dfrac{(f\circ f)\left(\dfrac14+h\right)-(f\circ f)\left(\dfrac14\right)}h=\lim_{h\to0^+}\dfrac{1-1}h=0$그러므로 제시문 (가)와 (다)에 의해 함수 $\displaystyle (f\circ f)(x)$는 $\displaystyle x=\dfrac14$에서 미분가능하지 않다.

【2-3】 【2-1】에 의해 $\displaystyle g(x)=-4x^2+5x$이고 $\displaystyle g^{\prime}(x)=-8x+5$이다. $\displaystyle 0<x<\dfrac14$이면 합성함수 미분법에 의해 $\displaystyle (f\circ f)^{\prime}(x)=(g\circ g)^{\prime}(x)=g^{\prime}(g(x))g^{\prime}(x)=(32x^2-40x+5)(-8x+5)$이다.

$\displaystyle 0<x<\dfrac14$에서 항상 $\displaystyle -8x+5>0$이고,$\displaystyle 32x^2-40x+5=32\left(x-\dfrac{5+\sqrt{15}}8\right)\left(x-\dfrac{5-\sqrt{15}}8\right)<0\ \Leftrightarrow\ \dfrac{5-\sqrt{15}}8<x<\dfrac{5+\sqrt{15}}8$제시문 (라)에 의해 함수 $\displaystyle (f\circ f)(x)$는 열린구간 $\displaystyle \left(0,\dfrac{5-\sqrt{15}}8\right)$에서 증가하고 열린구간 $\displaystyle \left(\dfrac{5-\sqrt{15}}8,\dfrac14\right)$에서 감소한다.

따라서 가능한 $\displaystyle m$의 최댓값은 $\displaystyle \dfrac{5-\sqrt{15}}8$이다.

그러므로 $\displaystyle p+q=41$이다.