자연계열 I 2번

경북대 2027학년도 모의 자연계열 I 2번 · mathesis.kr/archive/knu/2027mo/jayeon1_2

[2] 다음 글을 읽고 물음에 답하시오.

(가) 함수 $\displaystyle f(x)$ 가 미분가능할 때, 곡선 $\displaystyle y=f(x)$ 위의 점 $\displaystyle \mathrm{P}(a,f(a))$ 에서의 접선의 방정식은 $\displaystyle y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)$

(나) 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속인 도함수를 갖는 두 함수 $\displaystyle f(x)$ , $\displaystyle g(x)$ 에 대하여 $\displaystyle \int_a^b f(x)g^{\prime}(x)dx=\Biggl[f(x)g(x)\Biggr]_a^b-\int_a^b f^{\prime}(x)g(x)dx$

(다) 두 함수 $\displaystyle f(x)$ , $\displaystyle g(x)$ 가 닫힌구간 $\displaystyle [a,b]$ 에서 연속이고 $\displaystyle f(x)\le g(x)$ 일 때, $\displaystyle \int_a^b f(x)dx\le\int_a^b g(x)dx$

(라) 두 수열 $\displaystyle \{a_n\}$ , $\displaystyle \{b_n\}$ 이 각각 수렴하고 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=\alpha$ 일 때, 만약 수열 $\displaystyle \{c_n\}$ 이 모든 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle a_n\le c_n\le b_n$ 이면 수열 $\displaystyle \{c_n\}$ 은 수렴하고 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}c_n=\alpha$

(마) 두 수열 $\displaystyle \{a_n\}$ , $\displaystyle \{b_n\}$ 이 각각 수렴하고 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_n=\alpha$ , $\displaystyle \lim_{n\to\infty}b_n=\beta$ ( $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle \beta$ 는 실수)일 때, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_nb_n=\lim_{n\to\infty}a_n\times\lim_{n\to\infty}b_n=\alpha\beta$

※ 모든 문항에서 풀이 과정을 반드시 기술하시오.

양의 실수 $\displaystyle t$ 에 대하여, 곡선 $\displaystyle y=e^x$ 위의 점 $\displaystyle (t,e^t)$ 에서의 접선의 방정식을 $\displaystyle y=L(x)$ 라 하고 $\displaystyle S(t)=\int_0^t\{e^x-L(x)\}dx$ 라 할 때, 다음 물음에 답하시오.

【2-1】식 $\displaystyle e^x-L(x)=\int_x^t(s-x)e^sds$ 가 성립함을 보이고, $\displaystyle 0\le x\le t$ 인 $\displaystyle x$ 에 대하여 다음 부등식 $\displaystyle \frac{(t-x)^2}{2}\le e^x-L(x)\le\frac{e^t(t-x)^2}{2}$ 이 성립함을 보이시오. (30점)

【2-2】 $\displaystyle S(t)=e^t\left(1-t+\frac{t^2}{2}\right)-1$ 임을 보이고, $\displaystyle S(t)$ 가 $\displaystyle t>0$ 에서 증가함수임을 보이시오. (20점)

【2-3】자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle S(t_n)=\frac{1}{n}$ 을 만족하는 양의 실수 $\displaystyle t_n$ 을 생각하자. 다음 물음에 답하시오.

(1) 각 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여, $\displaystyle S(t)=\frac{1}{n}$ 을 만족하는 양의 실수 $\displaystyle t$ 가 오직 하나 존재함을 보이고 부등식 $\displaystyle nt_n^3\le6$ 이 성립함을 보이시오. (40점)

(2) 함수 $\displaystyle T(t)$ 를 $\displaystyle T(t)=\int_0^t x\{e^x-L(x)\}dx$ 라 할 때, 극한값 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}n^4\{T(t_n)\}^3$ 을 구하시오. (40점)

해설강의 준비중

경북대 2027학년도 모의 자연계열 I 2번 · mathesis.kr/archive/knu/2027mo/jayeon1_2

+5점 ·

\displaystyle L(x)=e^t(x-t+1)

를 구하면

【2-1】점 $\displaystyle (t,e^t)$ 에서의 접선의 방정식을 구하면, $\displaystyle y-e^t=e^t(x-t)$ 이므로, $\displaystyle L(x)=e^t(x-t)+e^t=e^t(x-t+1)$ 이다.

+10점 ·

\displaystyle e^x-L(x)=\int_x^t(s-x)e^sds

를 보이면

이로부터, $\displaystyle e^x-L(x)=e^x-e^t(x-t+1)=\int_x^t(s-x)e^sds$ 이 성립함을 확인할 수 있다.

+15점 · 부등식

\displaystyle \frac{(t-x)^2}{2}\le e^x-L(x)\le\frac{e^t(t-x)^2}{2}

을 보이면

따라서, $\displaystyle 0\le x\le s\le t$ 일 때, $\displaystyle 1\le e^s\le e^t$ 이므로 $\displaystyle \int_x^t(s-x)ds\le\int_x^t(s-x)e^sds\le e^t\int_x^t(s-x)ds$ 가 성립한다.이를 정리하면, 부등식 $\displaystyle \frac{(t-x)^2}{2}\le e^x-L(x)\le\frac{e^t(t-x)^2}{2}$ 이 성립함을 알 수 있다.

+10점 ·

\displaystyle S(t)=e^t\left(1-t+\frac{t^2}{2}\right)-1

임을 보이면

【2-2】부분적분을 이용하여 계산하면, $\displaystyle S(t)=\int_0^t\{e^x-L(x)\}dx=\int_0^t\{e^x-e^t(x-t+1)\}dx=e^t\left(1-t+\frac{t^2}{2}\right)-1$ 을 얻는다.

+10점 ·

\displaystyle S(t)

가

\displaystyle t>0

에서 증가함수임을 보이면

이로부터 $\displaystyle S^{\prime}(t)=\frac{t^2}{2}e^t$ 임을 알 수 있고, 따라서 $\displaystyle t>0$ 에서 $\displaystyle S^{\prime}(t)=\frac{t^2}{2}e^t>0$ 이고 $\displaystyle S(t)$ 는 증가함수이다.

+15점 ·

\displaystyle S(t)=\frac{1}{n}

을 만족하는 양의 실수

\displaystyle t

가 존재함을 보이면

【2-3】(1) $\displaystyle S(t)=e^t\left(1-t+\frac{t^2}{2}\right)-1$ 은 연속함수이며 $\displaystyle \lim_{t\to0}S(t)=0$ 이고 $\displaystyle \lim_{t\to\infty}S(t)=\infty$ 이다. 따라서, 사잇값 정리에 의해 $\displaystyle S(t)=\frac{1}{n}$ 을 만족하는 양의 실수 $\displaystyle t$ 가 존재함을 알 수 있다.

+5점 ·

\displaystyle S(t)=\frac{1}{n}

을 만족하는 양의 실수

\displaystyle t

가 오직 하나뿐임을 보이면

또한 $\displaystyle S(t)$ 는 증가함수이므로, $\displaystyle S(t)=\frac{1}{n}$ 을 만족하는 양의 실수 $\displaystyle t$ 는 오직 하나 존재함을 알 수 있다.

+10점 ·

\displaystyle \frac{t^3}{6}\le S(t)

를 보이면

한편, 부등식 $\displaystyle \frac{(t-x)^2}{2}\le e^x-L(x)\le\frac{e^t(t-x)^2}{2}$ $\displaystyle (0\le x\le t)$ 에서 $\displaystyle \int_0^t\frac{(t-x)^2}{2}dx\le S(t)\le\int_0^t\frac{e^t(t-x)^2}{2}dx=e^t\int_0^t\frac{(t-x)^2}{2}dx$ 를 얻고, 이를 계산하면 $\displaystyle \frac{t^3}{6}\le S(t)\le e^t\frac{t^3}{6}$ 임을 알 수 있다.

+10점 ·

\displaystyle nt_n^3\le6

을 보이면

$\displaystyle t=t_n$ 을 대입하고 $\displaystyle S(t_n)=\frac{1}{n}$ 을 이용하면, $\displaystyle \frac{t_n^3}{6}\le\frac{1}{n}\le e^{t_n}\frac{t_n^3}{6}$ 을 얻는다. 따라서, $\displaystyle nt_n^3\le6$ 을 얻는다.

+10점 ·

\displaystyle \frac{t^4}{24}\le T(t)\le e^t\frac{t^4}{24}

을 보이면

(2) 부등식 $\displaystyle \frac{(t-x)^2}{2}\le e^x-L(x)\le\frac{e^t(t-x)^2}{2}$ $\displaystyle (0\le x\le t)$ 에서 부등식 $\displaystyle \frac{x(t-x)^2}{2}\le x\{e^x-L(x)\}\le\frac{e^tx(t-x)^2}{2}$ $\displaystyle (0\le x\le t)$ 을 얻고, 이로부터 $\displaystyle \int_0^t\frac{x(t-x)^2}{2}dx\le T(t)\le\int_0^t\frac{e^tx(t-x)^2}{2}dx=e^t\int_0^t\frac{x(t-x)^2}{2}dx$ 를 얻는다. 이를 계산하면 $\displaystyle \frac{t^4}{24}\le T(t)\le e^t\frac{t^4}{24}$ 임을 알 수 있다.

+5점 ·

\displaystyle \lim_{n\to\infty}t_n=0

을 보이면

한편, (1)에서 $\displaystyle 0<t_n\le\sqrt[3]{\frac{6}{n}}$ 이므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}t_n=0$

+5점 ·

\displaystyle \lim_{n\to\infty}nt_n^3=6

을 보이면

이고, 부등식 $\displaystyle 6e^{-t_n}\le nt_n^3\le6$ 으로부터 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}nt_n^3=6$ 을 얻는다.

+20점 ·

\displaystyle \lim_{n\to\infty}n^4\{T(t_n)\}^3=\frac{3}{32}

을 구하면

따라서, $\displaystyle \frac{(nt_n^3)^4}{24^3}=n^4\left(\frac{t_n^4}{24}\right)^3\le n^4\{T(t_n)\}^3\le n^4\left(e^{t_n}\frac{t_n^4}{24}\right)^3=e^{3t_n}\frac{(nt_n^3)^4}{24^3}$ 이고, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}e^{3t_n}=1$ 및 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}nt_n^3=6$ 으로부터 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}n^4\{T(t_n)\}^3=\frac{6^4}{24^3}=\frac{3}{32}$ 이다.

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