자연계열 I 2번

【2-1】점 $\displaystyle (t,e^t)$에서의 접선의 방정식을 구하면, $\displaystyle y-e^t=e^t(x-t)$이므로, $\displaystyle L(x)=e^t(x-t)+e^t=e^t(x-t+1)$이다. 이로부터,$\displaystyle e^x-L(x)=e^x-e^t(x-t+1)=\int_x^t(s-x)e^sds$이 성립함을 확인할 수 있다.

따라서, $\displaystyle 0\le x\le s\le t$일 때, $\displaystyle 1\le e^s\le e^t$이므로 $\displaystyle \int_x^t(s-x)ds\le\int_x^t(s-x)e^sds\le e^t\int_x^t(s-x)ds$가 성립한다.이를 정리하면, 부등식 $\displaystyle \frac{(t-x)^2}{2}\le e^x-L(x)\le\frac{e^t(t-x)^2}{2}$이 성립함을 알 수 있다.

【2-2】부분적분을 이용하여 계산하면, $\displaystyle S(t)=\int_0^t\{e^x-L(x)\}dx=\int_0^t\{e^x-e^t(x-t+1)\}dx=e^t\left(1-t+\frac{t^2}{2}\right)-1$을 얻는다. 이로부터 $\displaystyle S^{\prime}(t)=\frac{t^2}{2}e^t$임을 알 수 있고, 따라서 $\displaystyle t>0$에서 $\displaystyle S^{\prime}(t)=\frac{t^2}{2}e^t>0$이고 $\displaystyle S(t)$는 증가함수이다.

【2-3】(1) $\displaystyle S(t)=e^t\left(1-t+\frac{t^2}{2}\right)-1$은 연속함수이며 $\displaystyle \lim_{t\to0}S(t)=0$이고 $\displaystyle \lim_{t\to\infty}S(t)=\infty$이다. 따라서, 사잇값 정리에 의해 $\displaystyle S(t)=\frac{1}{n}$을 만족하는 양의 실수 $\displaystyle t$가 존재함을 알 수 있다. 또한 $\displaystyle S(t)$는 증가함수이므로, $\displaystyle S(t)=\frac{1}{n}$을 만족하는 양의 실수 $\displaystyle t$는 오직 하나 존재함을 알 수 있다.

한편, 부등식 $\displaystyle \frac{(t-x)^2}{2}\le e^x-L(x)\le\frac{e^t(t-x)^2}{2}$ $\displaystyle (0\le x\le t)$에서 $\displaystyle \int_0^t\frac{(t-x)^2}{2}dx\le S(t)\le\int_0^t\frac{e^t(t-x)^2}{2}dx=e^t\int_0^t\frac{(t-x)^2}{2}dx$를 얻고, 이를 계산하면 $\displaystyle \frac{t^3}{6}\le S(t)\le e^t\frac{t^3}{6}$임을 알 수 있다. $\displaystyle t=t_n$을 대입하고 $\displaystyle S(t_n)=\frac{1}{n}$을 이용하면, $\displaystyle \frac{t_n^3}{6}\le\frac{1}{n}\le e^{t_n}\frac{t_n^3}{6}$을 얻는다. 따라서, $\displaystyle nt_n^3\le6$을 얻는다.

(2) 부등식 $\displaystyle \frac{(t-x)^2}{2}\le e^x-L(x)\le\frac{e^t(t-x)^2}{2}$ $\displaystyle (0\le x\le t)$에서 부등식 $\displaystyle \frac{x(t-x)^2}{2}\le x\{e^x-L(x)\}\le\frac{e^tx(t-x)^2}{2}$ $\displaystyle (0\le x\le t)$을 얻고, 이로부터 $\displaystyle \int_0^t\frac{x(t-x)^2}{2}dx\le T(t)\le\int_0^t\frac{e^tx(t-x)^2}{2}dx=e^t\int_0^t\frac{x(t-x)^2}{2}dx$를 얻는다. 이를 계산하면 $\displaystyle \frac{t^4}{24}\le T(t)\le e^t\frac{t^4}{24}$임을 알 수 있다.

한편, (1)에서 $\displaystyle 0<t_n\le\sqrt[3]{\frac{6}{n}}$이므로 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}t_n=0$이고, 부등식 $\displaystyle 6e^{-t_n}\le nt_n^3\le6$으로부터 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}nt_n^3=6$을 얻는다.

따라서,$\displaystyle \frac{(nt_n^3)^4}{24^3}=n^4\left(\frac{t_n^4}{24}\right)^3\le n^4\{T(t_n)\}^3\le n^4\left(e^{t_n}\frac{t_n^4}{24}\right)^3=e^{3t_n}\frac{(nt_n^3)^4}{24^3}$이고, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}e^{3t_n}=1$ 및 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}nt_n^3=6$으로부터 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}n^4\{T(t_n)\}^3=\frac{6^4}{24^3}=\frac{3}{32}$이다.