자연계열 1번

(1) $\displaystyle P_1$은 삼각형 내부의 점이므로 충분히 작은 $\displaystyle r$에 대해서는 $\displaystyle B(P_1,r)$는 평면에 있는 원의 내부가 된다. 그러므로 $\displaystyle B(P_1,r)$의 면적은 $\displaystyle \pi r^2$이다.

$\displaystyle P_2$는 모서리에 있는 점이므로 충분히 작은 $\displaystyle r$에 대해서 $\displaystyle B(P_2,r)$는 두개의 반지름 $\displaystyle r$인 반원의 내부의 합집합이다. 따라서 이것의 면적도 $\displaystyle \pi r^2/2+\pi r^2/2=\pi r^2$이다.

그러므로

$\displaystyle K(P_1)=\lim_{r\to0}\frac{B(P_1,r)\text{의 면적}}{\pi r^2}=\lim_{r\to0}\frac{\pi r^2}{\pi r^2}=1$

이고 같은 이유로 $\displaystyle K(P_2)=1$이다.

(2) 충분히 작은 $\displaystyle r$에 대해 $\displaystyle B(O,r)$는 중심각이 각각 $\displaystyle \theta_1,\theta_2,\theta_3$이고 반지름이 $\displaystyle r$인 3개의 부채꼴 모양의 합집합이다. 반지름이 $\displaystyle r$이고 중심각이 $\displaystyle \theta$인 부채꼴의 넓이는 $\displaystyle r^2\theta/2$ (degree로는 $\displaystyle \pi r^2\theta/360$)이므로 $\displaystyle B(O,r)$의 면적은 세개의 부채꼴의 합인 $\displaystyle \frac12r^2(\theta_1+\theta_2+\theta_3)$이다. 그러므로

$\displaystyle K(O)=\lim_{r\to0}\frac{B(O,r)\text{의 면적}}{\pi r^2}=\lim_{r\to0}\frac{r^2(\theta_1+\theta_2+\theta_3)/2}{\pi r^2}=\frac{\theta_1+\theta_2+\theta_3}{2\pi}$.

(degree로 말할 경우 $\displaystyle (\theta_1+\theta_2+\theta_3)/360$로 말하여도 정답)

(3) 각각의 꼭지점에 대하여 $\displaystyle K$의 함수값을 구해서 모두 더하면 네 개의 삼각형의 내각을 모두 더한 값 $\displaystyle 4\pi$를 $\displaystyle 2\pi$로 나눈 것이므로 답은 2이다.

힌트

1. (1)을 대답 못하고 있는 경우 : $\displaystyle B(P_2,r)$는 2개의 반원 내부의 합집합임을 알려준다.

2. (2)를 대답 못하고 있는 경우 : $\displaystyle B(O,r)$는 부채꼴 3개의 합집합임을 알려준다.