자연계열 1번

(1) 행렬식 $\displaystyle D=5\cdot3-7\cdot2=1$이므로 $\displaystyle A$에 의한 일차변환으로 면적의 변화율은 1이다. 실제로 그림에 있는 삼각형 $\displaystyle \triangle f(P)f(Q)f(R)$의 넓이를 구하여 보면 넓이가 $\displaystyle 1/2$이고 $\displaystyle \triangle PQR$의 넓이도 $\displaystyle 1/2$이므로 비율은 1이다.

(2) 역행렬의 공식에 의해

$\displaystyle A^{-1}=\begin{pmatrix}3&-7\\-2&5\end{pmatrix}$.

(3) $\displaystyle AA^{-1}=I$으로부터 $\displaystyle A$의 열벡터

$\displaystyle 3\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}+(-2)\begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$

임을 알 수 있다. 같은 이유로

$\displaystyle -7\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}+5\begin{pmatrix}7\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$

임을 알 수 있다. 그러므로 가장 가까운 점은 네 점 $\displaystyle (1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)$이다. $\displaystyle (1,0)$에 대한 $\displaystyle a,b$는 $\displaystyle 3,-2$이고 $\displaystyle (-1,0)$에 대한 $\displaystyle a,b$는 $\displaystyle -3,2$이다. $\displaystyle (0,1)$에 대한 $\displaystyle a,b$는 $\displaystyle -7,5$이고 $\displaystyle (0,-1)$에 대한 $\displaystyle a,b$는 $\displaystyle 7,-5$이다.

힌트

1. (1)을 대답 못한 경우 : $\displaystyle X=(5,0),Y=(7,0)$이라고 하면 $\displaystyle \triangle f(P)f(Q)f(R)$의 면적을 $\displaystyle \triangle f(P)f(R)Y$의 면적, $\displaystyle \triangle f(P)f(Q)X$의 면적을 이용하여 계산하시오.

2. (2)를 대답 못한 경우 : $\displaystyle (1,0)$가 $\displaystyle L$의 원소임을 알려주고 $\displaystyle (1,0)$에 대한 $\displaystyle a,b$를 물어본다.