인문사회계 Ⅱ 2번

[문제 2-1]

(과정 1) 하루에 남성구두를 $\displaystyle x$켤레, 하이힐을 $\displaystyle y$켤레 생산한다고 하자.

(과정 2) 소가죽과 전력량에 대하여 주어진 조건을 $\displaystyle x$와 $\displaystyle y$를 활용하여 표현하면 다음과 같다.

$\displaystyle 3x+2y\le500,\ 2x+3y\le600,\ x\ge0,\ y\ge0$

(과정 3) 위 조건을 평면에 도시하면 다음과 같다.

(과정 4) 하루 매출액을 $\displaystyle k$라고 하면 $\displaystyle 5x+4y=k$이다.

(과정 5) $\displaystyle k$가 최대가 되는 경우는 직선 $\displaystyle 5x+4y=k$가 위 조건을 만족하는 영역 위를 지나면서 $\displaystyle y$절편이 최대가 되는 경우이다.

(과정 6) 따라서 두 직선 $\displaystyle 3x+2y=500$과 $\displaystyle 2x+3y=600$의 교점을 지날 때 $\displaystyle k$가 최대이고 이 연립 방정식을 풀면 $\displaystyle x=60,y=160$임을 확인할 수 있다.

[문제 2-2]

(과정 1) $\displaystyle A$국의 $\displaystyle n$년도 경제성장률을 $\displaystyle R_n$이라고 하면, 제시문의 정의에 따라 다음과 같다.

$\displaystyle R_n=\frac{G_n}{G_{n-1}}-1=\frac{(n+1)X^n}{nX^{n-1}}-1=\frac{n+1}nX-1$

(과정 2) 확률변수 $\displaystyle X$의 기댓값은 제시문의 정의에 따라 다음과 같다.

$\displaystyle E(X)=\int_0^m x\times f(x)dx=\int_0^m2m^{-2}x^2dx=\frac{2m}3$

(과정 3) 따라서 경제성장률의 기댓값은 다음과 같다.

$\displaystyle E(R_n)=\frac{n+1}nE(X)-1=\frac{n+1}n\times\frac{2m}3-1=\frac{(2m-3)n+2m}{3n}$

(과정 4) 따라서 아래 두 부등식은 동치이고

$\displaystyle E(R_n)>0\ \Leftrightarrow\ (2m-3)n+2m>0$

위 부등식을 $\displaystyle n$에 대하여 풀면 경제성장률의 부호를 알 수 있다.

(과정 5) 확률밀도함수 $\displaystyle f$가 $\displaystyle 0\le x\le m$에서 항상 0일 수는 없으므로 $\displaystyle m>0$이고, $\displaystyle m$의 범위에 따라 다음과 같이 푼다.

(과정 6) 먼저 $\displaystyle m=\frac32$인 경우, 위 부등식은

$\displaystyle 0\times n>-3$

과 동치이고 이 부등식은 모든 $\displaystyle n\ge1$에 대하여 성립한다. 즉, $\displaystyle E(R_n)$은 모든 $\displaystyle n\ge1$에 대하여 항상 양수이다.

(과정 7) 다음으로 $\displaystyle m>\frac32$인 경우, 위 부등식은

$\displaystyle n>-\frac{2m}{2m-3}$

과 동치이고 $\displaystyle \frac{2m}{2m-3}>0$이므로 이 부등식은 모든 $\displaystyle n\ge1$에 대하여 성립한다. 즉, $\displaystyle E(R_n)$은 모든 $\displaystyle n\ge1$에 대하여 항상 양수이다.

(과정 8) 마지막으로 $\displaystyle 0<m<\frac32$인 경우, 위 부등식은

$\displaystyle n<-\frac{2m}{2m-3}$

과 동치이다. $\displaystyle \frac{2m}{2m-3}<0$이므로 $\displaystyle E(R_n)$은 $\displaystyle -\frac{2m}{2m-3}$보다 작은 년도에서는 양수이고 큰 년도에서는 음수이다.

[문제 2-3]

(과정 1) 문제를 참고하면 $\displaystyle t\ge0$인 영역에서 $\displaystyle L(t)$가 최솟값을 가지는 $\displaystyle t$값이 기업 $\displaystyle A$의 투자비용 $\displaystyle T$이다.

(과정 2) 투자비용 결정함수를 $\displaystyle t$에 대하여 정리하면 다음과 같다.

$\displaystyle L(t)=\sum_{i=1}^n(t-nX_i)^2+2n\lambda t=nt^2-2n\left(\sum_{i=1}^nX_i-\lambda\right)t+n^2\sum_{i=1}^nX_i^2=nt^2-2n(X-\lambda)t+n^2\sum_{i=1}^nX_i^2$

(과정 3) 따라서 $\displaystyle L(t)$는 이차항의 계수가 양수이고 축이 $\displaystyle t=X-\lambda$인 이차함수이다.

(과정 4) 따라서 $\displaystyle t\ge0$인 영역을 고려하면 $\displaystyle X<\lambda$인 경우 $\displaystyle t=0$에서 최솟값을 가지고

(과정 5) $\displaystyle X\ge\lambda$인 경우 $\displaystyle t=X-\lambda$에서 최솟값을 가진다.

(과정 6) 따라서 내년도 투자비용은 다음과 같다.

$\displaystyle T=\begin{cases}0,&X<\lambda\\X-\lambda,&X\ge\lambda\end{cases}$

이를 활용하여 기업 $\displaystyle A$의 투자비용 전략을 간단히 해석하면 다음과 같다.

(과정 7) 영업이익($\displaystyle X$)가 운영비용($\displaystyle \lambda$)보다 작으면 투자하지 않고($\displaystyle T=0$)

(과정 8) 영업이익($\displaystyle X$)가 운영비용($\displaystyle \lambda$)보다 크면 그 차이($\displaystyle T=X-\lambda$)만큼 투자한다.