자연계열 1번

(가) 구슬의 색을 보지 않고 임의로 구슬을 배치할 때, 흰 구슬 두개와 검은 구슬 두 개를 꿰어 염주가 만들어지는 경우는 다음 여섯 가지가 있다.

$\displaystyle B\,B\,W\,W$: a형 　　$\displaystyle B\,W\,B\,W$: b형$\displaystyle B\,W\,W\,B$: a형 　　$\displaystyle W\,W\,B\,B$: a형$\displaystyle W\,B\,W\,B$: b형 　　$\displaystyle W\,B\,B\,W$: a형

이 구슬들을 꿰어 염주로 만들면 모두 a형 또는 b형의 염주가 된다.따라서 염주가 만들어지는 표본 공간의 원소는 6가지이다.그 중 a형 염주는 4가지, b형 염주는 2가지이다.각 근원사건이 일어날 가능성이 모두 같으며 모든 근원사건은 6가지이며, 이 중에서 사건 $\displaystyle A$의 근원사건은 4가지이므로 사건 $\displaystyle A$가 일어날 확률은 $\displaystyle \frac{4}{6}=\frac{2}{3}$이다.따라서 제시문 (가)에서 염주가 만들어지는 근원사건을 두 가지로 보고 a형 염주가 만들어지는 사건 $\displaystyle A$의 확률을 $\displaystyle \frac{1}{2}$로 풀이한 것은 잘못된 풀이가 된다.

(나) 제시문에서는 1만 정의 알약 중 임의의 알약 1정을 검사한 결과 모조품이라는 판정이 나온 것으로 그 알약이 모조품일 확률이 90%라고 했는데, 이 확률은 임의의 알약 1정이 모조품임을 알았을 때, 그 알약이 모조품이라고 판정될 확률이 90%라는 의미이다.제시문에 주어진 상황을 잘 정리해보면 모조품을 모조품이라고 판정한 경우와 진품을 모조품이라고 판정한 경우 중 모조품을 모조품이라고 할 때의 확률을 구하라는 문제라는 것을 알 수 있다.알약 1정을 선택할 때 모조품을 선택하는 사건을 $\displaystyle A$라 하고, 1정의 알약을 모조품으로 판정하는 사건을 $\displaystyle B$라 하자. 그러면 알약 1정이 모조품이라는 판정이 나왔을 때, 그 알약이 모조품일 확률은 $\displaystyle \mathrm{P}(A|B)$이 된다.

$\displaystyle \mathrm{P}(A|B)=\frac{\mathrm{P}(A\cap B)}{\mathrm{P}(A\cap B)+\mathrm{P}(A^{C}\cap B)}=\frac{\frac{1}{10000}\times0.9}{\frac{1}{10000}\times0.9+\frac{9999}{10000}\times0.1}=\frac{9}{9+9999}=\frac{1}{1112}$

즉, 구하고자 하는 확률은 90%가 아니라 $\displaystyle \frac{1}{1112}$ 가 되는 것이다.