자연계열 2번

(a)

$\displaystyle f(t)=x_1(t)-2x_2(t)$라 하면 $\displaystyle f(t)$는 폐구간 $\displaystyle [0,T]$에서 연속이고 개구간 $\displaystyle (0,T)$에서 미분가능하다.$\displaystyle \frac{f(T)-f(0)}{T-0}=\frac{(x_1(T)-2x_2(T))-(x_1(0)-2x_2(0))}{T}=\frac{(200-2\times150)-(0-2\times50)}{T}=0$이므로 평균값의 정리에 의해$\displaystyle f^{\prime}(c)=v_1(c)-2v_2(c)=0$을 만족하는 $\displaystyle c$가 개구간 $\displaystyle (0,T)$ 안에 존재한다.

(b)

평균값의 정리에 의해$\displaystyle x^{\prime}(s_1)=\frac{x(t_2)-x(t_1)}{t_2-t_1}$을 만족하는 $\displaystyle s_1$이 $\displaystyle t_1$과 $\displaystyle t_2$ 사이에 존재한다. 마찬가지로$\displaystyle y^{\prime}(s_2)=\frac{y(t_2)-y(t_1)}{t_2-t_1}$을 만족하는 $\displaystyle s_2$가 $\displaystyle t_1$과 $\displaystyle t_2$ 사이에 존재한다.

그러나 $\displaystyle s_1$과 $\displaystyle s_2$를 같은 값으로 선택할 수 있다는 보장은 없다.