자연계열 2번

(나) [평균값의 정리] 함수 $\displaystyle y=f(x)$가 폐구간 $\displaystyle [a,b]$에서 연속이고, 개구간 $\displaystyle (a,b)$에서 미분가능하면 $\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime}(c)$인 $\displaystyle c$가 개구간 $\displaystyle (a,b)$ 안에 적어도 하나 존재한다.

(다) 형과 동생이 일직선 도로에서 자전거 시합을 한다. 동생은 출발선으로부터 50지점에서 출발하기로 하였다. 둘이 동시에 출발하여 $\displaystyle T$초 후 형은 200미터 지점을, 동생은 150미터 지점을 통과하였다. 출발 $\displaystyle t$초 후 형의 위치를 $\displaystyle x_1(t)$미터라 하고 동생의 위치를 $\displaystyle x_2(t)$미터라 하면 운동의 물리적 특성으로 인해 $\displaystyle x_1(t)$와 $\displaystyle x_2(t)$는 폐구간 $\displaystyle [0,T]$에서 연속이고, 개구간 $\displaystyle (0,T)$에서 미분가능한 함수로 볼 수 있다. 따라서 형과 동생의 속도는 각각 $\displaystyle v_1(t)=x_1^{\prime}(t)$미터/초와 $\displaystyle v_2(t)=x_2^{\prime}(t)$미터/초로 표시할 수 있다.

(라) 평면 위를 움직이는 점 $\displaystyle P$의 좌표가 시간 $\displaystyle t$초 일 때 $\displaystyle P(x(t),y(t))$로 주어졌다고 하자. $\displaystyle x(t)$와 $\displaystyle y(t)$가 미분가능하면 속도벡터 $\displaystyle \vec v(t)$는 $\displaystyle \vec v(t)=(x^{\prime}(t),y^{\prime}(t))$이며 속력은 $\displaystyle |\vec v(t)|=\sqrt{(x^{\prime}(t))^2+(y^{\prime}(t))^2}$이다.