자연계열 3번

(a) $\displaystyle y=\{F(x)\}^3$이므로, $\displaystyle y^{\prime}=3\{F(x)\}^2f(x)=(f(x)-1)f(x)$이다.

(b) $\displaystyle F(x)=\int_0^xf(t)dt$이므로, $\displaystyle F(0)=0$이고, $\displaystyle F(a)=\int_0^af(t)dt=1$이다.

(a)에서의 결과를 대입하면 회전체의 부피 $\displaystyle \pi\int_0^a(f(x))^2dx$는$\displaystyle \pi\int_0^a(f(x))^2dx=\pi\int_0^a(F(x)^3)^{\prime}+f(x)dx=\pi\Biggl[(F(x))^3\Biggr]_0^a+\pi=2\pi$ 이다.