수리논술, 이게 다다.

자연계열 3번

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고려대 서울캠퍼스 2009학년도 모의 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/korea_seoul/2009mo/jayeon_3

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(마) 구간 0≤x≤a\displaystyle 0\le x\le a에서 정의된 연속함수 f(x)\displaystyle f(x)와 F(x)=∫0xf(t)dt\displaystyle F(x)=\int_0^xf(t)dt가 다음의 성질을 가진다고 하자.F(a)=∫0af(t)dt=1\displaystyle F(a)=\int_0^af(t)dt=1이고, 구간 0≤x≤a\displaystyle 0\le x\le a 안의 모든 x\displaystyle x에 대해 f(x)=3{F(x)}2+1\displaystyle f(x)=3\{F(x)\}^2+1이 성립한다.

논제 3. 제시문 (마)에 대하여 다음 문항에 답하시오.

(a) 구간 (0,a)\displaystyle (0,a)에서 y={F(x)}3\displaystyle y=\{F(x)\}^3의 도함수를 f(x)\displaystyle f(x)를 이용하여 표현하시오.

(b) 구간 [0,a]\displaystyle [0,a]에서 곡선 y=f(x)\displaystyle y=f(x)와 x\displaystyle x축, 두 직선 x=0\displaystyle x=0과 x=a\displaystyle x=a로 둘러싸인 도형을 x\displaystyle x축 둘레로 회전하여 얻은 회전체의 부피를 구하시오.

해설강의 준비중

고려대 서울캠퍼스 2009학년도 모의 자연계열 3번 · mathesis.kr/archive/korea_seoul/2009mo/jayeon_3

(a) y={F(x)}3\displaystyle y=\{F(x)\}^3이므로, y′=3{F(x)}2f(x)=(f(x)−1)f(x)\displaystyle y^{\prime}=3\{F(x)\}^2f(x)=(f(x)-1)f(x)이다.

(b) F(x)=∫0xf(t)dt\displaystyle F(x)=\int_0^xf(t)dt이므로, F(0)=0\displaystyle F(0)=0이고, F(a)=∫0af(t)dt=1\displaystyle F(a)=\int_0^af(t)dt=1이다.

(a)에서의 결과를 대입하면 회전체의 부피 π∫0a(f(x))2dx\displaystyle \pi\int_0^a(f(x))^2dx는π∫0a(f(x))2dx=π∫0a(F(x)3)′+f(x)dx=π[(F(x))3]0a+π=2π\displaystyle \pi\int_0^a(f(x))^2dx=\pi\int_0^a(F(x)^3)^{\prime}+f(x)dx=\pi\Biggl[(F(x))^3\Biggr]_0^a+\pi=2\pi 이다.

a. 세 함수의 곱 y={F(x)}3\displaystyle y=\{F(x)\}^3의 도함수를 구할 수 있는가?

b. 제시문 (마)에서 주어진 F(x)=∫0xf(t)dt\displaystyle F(x)=\int_0^xf(t)dt에 대하여 미분할 수 있는가?

c. 회전체의 부피를 계산하는 적분 형태를 유도할 수 있는가?

d. 제시문 (마)와 논제에서 주어진 사실을 이용하여 위에서 구해진 적분형태에서 부피에 해당하는 구체적인 값을 계산할 수 있는가?

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