자연계열 1번

(가)다항함수 $\displaystyle y=f(x)$와 임의의 정수 $\displaystyle m,n,c$에 대하여 그래프의 평행이동과 대칭이동을 이용하면 다음의 결과를 얻을 수 있다.$\displaystyle \int_m^n f(x)\,dx=\int_{m-c}^{n-c}f(x+c)\,dx,\qquad\int_m^n f(x)\,dx=\int_{-n}^{-m}f(-x)\,dx$마찬가지로, $\displaystyle \sum_{k=m}^n f(k)$도 위와 유사한 성질을 만족한다.

(나)미분의 곱의 법칙을 이용하면 다항함수 $\displaystyle f(x)$, $\displaystyle g(x)$에 대하여 다음과 같은 공식을 얻을 수 있다.$\displaystyle \int_a^b f^{\prime}(x)g(x)\,dx=\Biggl[f(x)g(x)\Biggr]_a^b-\int_a^b f(x)g^{\prime}(x)\,dx$

(다)연속함수 $\displaystyle f_n(x)$ ($\displaystyle n=0,1,2,\cdots$)에 대하여$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\left(\int_a^b f_n(x)\,dx\right)=\int_a^b\left(\sum_{n=0}^{\infty}f_n(x)\right)dx$가 일반적으로 성립하진 않지만, 어떤 수열 $\displaystyle \{a_n\}$이 존재하여 $\displaystyle a\le x\le b$인 모든 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle |f_n(x)|\le a_n$이고 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}a_n$이 수렴하면 위의 등식이 성립한다.

(라)다항함수 $\displaystyle f(x)$가 $\displaystyle f(a)=0$을 만족하면 $\displaystyle f(x)=(x-a)g(x)$인 다항함수 $\displaystyle g(x)$가 존재한다.