자연계열 1번

(a)

입체 $\displaystyle B$를 평면 $\displaystyle z=t$로 자른 단면의 넓이를 $\displaystyle \widetilde S(t)$라 하면$\displaystyle \widetilde S(t)=S\left(\frac{t}{k}\right)$이다. 따라서 입체 $\displaystyle B$의 부피 $\displaystyle V_B$는$\displaystyle V_B=\int_{ka}^{kb}\widetilde S(t)\,dt=\int_{ka}^{kb}S\left(\frac{t}{k}\right)dt$이다. $\displaystyle t=kz$로 치환하면$\displaystyle V_B=k\int_a^bS(z)\,dz=kV_A$이다.

(b)

$\displaystyle U(\phi)$는 위 그림에서 빗금 친 영역을 $\displaystyle x$축 둘레로 회전하여 얻어진 입체의 부피이다. 따라서,$\displaystyle \begin{aligned}U(\phi)&=\pi\int_{\cos\phi}^1\left(\sqrt{1-x^2}\right)^2dx\\&=\pi\int_{\cos\phi}^1(1-x^2)\,dx\\&=\pi\Biggl[x-\frac{1}{3}x^3\Biggr]_{\cos\phi}^1\\&=\pi\left(\frac{2}{3}-\cos\phi+\frac{1}{3}\cos^3\phi\right).\end{aligned}$이다.

(c)

입체 $\displaystyle C$는 반지름이 1인 구를 한 방향으로 2배 늘여서 얻어진다. 따라서, (a)의 결과에 의해 $\displaystyle C$의 부피는 $\displaystyle 2\times\frac{4}{3}\pi=\frac{8}{3}\pi$이다. 또한 $\displaystyle \theta$가 0으로 갈 때, 평면 $\displaystyle \gamma$에 의해 나누어지는 $\displaystyle C$의 영역 중 작은 영역의 부피 $\displaystyle W(\theta)$는 $\displaystyle C$의 부피의 절반으로 수렴하므로$\displaystyle \lim_{\theta\to0+}W(\theta)=\frac{1}{2}\times\frac{8}{3}\pi=\frac{4}{3}\pi$이다. 따라서 $\displaystyle \lim_{\theta\to0+}\theta^aW(\theta)$가 수렴하기 위한 필요충분조건은 $\displaystyle a\ge0$이다. $\displaystyle a=0$인 경우와 $\displaystyle a>0$인 경우로 나누어서 $\displaystyle \lim_{\theta\to0+}\theta^aW(\theta)$의 극한값을 구하면 다음과 같다.(i) $\displaystyle a=0$일 때, $\displaystyle \lim_{\theta\to0+}\theta^aW(\theta)=\frac{4}{3}\pi$.(ii) $\displaystyle a>0$일 때, $\displaystyle \lim_{\theta\to0+}\theta^aW(\theta)=0$.