자연계열 1번

(a)

$\displaystyle (n+1,0)$을 지나는 직선이 $\displaystyle y=x^n$과 수직으로 만나는 점을 $\displaystyle (k,k^n)$이라 하자. 이 때 $\displaystyle (k,k^n)$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle nk^{n-1}$. ($\displaystyle \because y^{\prime}=nx^{n-1}$)이다.

$\displaystyle \because\frac{k^n}{k-n-1}\times n\cdot k^{n-1}=-1$

$\displaystyle n\cdot k^{2n-1}=n+1-k$

$\displaystyle n\cdot k^{2n-1}+k=n+1\quad\text{－(ㄱ)}$

함수 $\displaystyle y=nx^{2n-1}+x-n-1$의 도함수가 $\displaystyle y^{\prime}=n(2n-1)x^{2n-2}+1>0$을 만족하므로 그림1에서 $\displaystyle (n+1,0)$에 대해 주어진 조건을 만족하는 점 $\displaystyle (k,k^n)$은 유일하며, (ㄱ)은 $\displaystyle k=1$일때 만족하므로 $\displaystyle (n+1,0)$을 지나는 직선이 $\displaystyle y=x^n$과 수직으로 만나는 점은 $\displaystyle (1,1)$이다. 이 직선은 $\displaystyle (n+1,0)$, $\displaystyle (1,1)$을 지나므로

$\displaystyle y-1=-\frac{1}{n}(n-1)$, 즉 $\displaystyle y=-\frac{1}{n}x+\frac{1}{n}+1$이다.

(b)

$\displaystyle \overline{A^{\prime}C^{\prime}}=\overline{C^{\prime}B^{\prime}}$이므로 $\displaystyle c=\frac{a+b}{2}$이고

A에서의 접선의 방정식 $\displaystyle l_a:y-a^n=na^{n-1}(x-a)$,

B에서의 접선의 방정식 $\displaystyle l_b:y-b^n=nb^{n-1}(x-b)$이다.

$\displaystyle na^{n-1}(x-a)+a^n=nb^{n-1}(x-b)+b^n\quad\text{－(ㄴ)}$

임의의 $\displaystyle a,b$ (단 $\displaystyle 0\leq a<b$)에 대해 (ㄴ)의 근이 $\displaystyle \frac{a+b}{2}$이므로

$\displaystyle na^{n-1}\frac{b-a}{2}+a^n=nb^{n-1}\frac{a-b}{2}+b^n$

$\displaystyle \frac{n}{2}a^{n-1}b-\frac{n}{2}a^n+a^n=\frac{n}{2}ab^{n-1}-\frac{n}{2}b^n+b^n$

$\displaystyle \frac{n}{2}ab(a^{n-2}-b^{n-2})+(1-\frac{n}{2})a^n-(1-\frac{n}{2})b^n=0$

$\displaystyle \therefore n=2$ ($\displaystyle \because a,b$에 대한 항등식이다.)

$\displaystyle \begin{aligned}l_a:y-a^2&=2a(x-a)&l_b:y-b^2&=2b(x-b)\\(y&=2ax-a^2)&(y&=2bx-b^2)\end{aligned}$

$\displaystyle \int_a^b x^2dx=\Biggl[\frac{1}{3}x^3\Biggr]_a^b=\frac{1}{3}(b^3-a^3)\quad-x$

$\displaystyle \int_a^{\frac{a+b}{2}}(2ax-a^2)dx=\Biggl[ax^2-a^2x\Biggr]_a^{\frac{a+b}{2}}=-\frac{1}{4}a^3+\frac{1}{4}ab^2\quad-y$

$\displaystyle \int_{\frac{a+b}{2}}^b(2bx-b^2)dx=\Biggl[bx^2-b^2x\Biggr]_{\frac{a+b}{2}}^b=\frac{1}{4}b^3-\frac{1}{4}a^2b\quad-z$

$\displaystyle \begin{aligned}\text{둘러싸인 넓이}&=x-y-z\\&=\frac{1}{12}b^3-\frac{1}{12}a^3+\frac{1}{4}a^2b-\frac{1}{4}ab^2\end{aligned}$

(c)

$\displaystyle Q(s,s^4+1)$에서의 접선의 방정식은

$\displaystyle l_Q:y-s^4-1=4s^3(x-s)$ ($\displaystyle \because g\leq4x^3$)이다.

$\displaystyle y=0\text{일때 }x=p=\frac{3s^4-1}{4s^3}\quad\text{－(1)}$

(d)

(c)와 같은 방법으로 $\displaystyle R$에서의 접선의 방정식은

$\displaystyle l_R:y-u^4-1=4u^3(x-u)$이고,

$\displaystyle y=0\text{일때 }x=p=\frac{3u^4-1}{4u^3}\quad\text{－(2)}$

이때 (1)=(2)이므로 $\displaystyle \frac{3s^4-1}{4s^3}=\frac{3u^4-1}{4u^3}$이다.

양변을 $\displaystyle s$에 대해 미분하면

$\displaystyle \frac{12s^3 4s^3-(3s^4-1)12s^2}{(4s^3)^2}=\frac{12u^3 4u^3-(3u^4-1)12u^2}{(4u^3)^2}\frac{du}{ds}$

$\displaystyle \frac{12s^6+12s^2}{16s^6}=\frac{12u^6+12u^2}{16u^6}\frac{du}{ds}$

$\displaystyle \frac{3}{4}+\frac{3}{4}\frac{1}{s^4}=(\frac{3}{4}+\frac{3}{4}\frac{1}{u^4})\frac{du}{ds}$

$\displaystyle \therefore s^4\frac{du}{ds}=\frac{\frac{3}{4}(s^4+1)}{\frac{3}{4}(1+\frac{1}{u^4})}=\frac{s^4+1}{1+\frac{1}{u^4}}$

$\displaystyle s\to0$일 때 $\displaystyle |u|\to\infty$이므로 $\displaystyle u^4\to\infty$이다. 따라서

$\displaystyle \lim_{s\to0}s^4\frac{du}{ds}=\lim_{s\to0}\frac{s^4+1}{1+\frac{1}{u^4}}=1$