자연계열 1번

(a)

제시문 (가)에 의해$\displaystyle \begin{aligned}2\triangle ORS\text{의 넓이}&=|(a+c)(b-d)-(b+d)(a-c)|\\&=|ab-ad+bc-cd-ab+bc-ad+cd|\\&=2|ad-bc|\\&=4\times(\triangle OPQ\text{의 넓이})\end{aligned}$이다. 따라서 $\displaystyle \triangle ORS$의 넓이와 $\displaystyle \triangle OPQ$의 넓이의 비는 $\displaystyle 2:1$이다.

(b)

제시문 (가)에 의해$\displaystyle \triangle OPQ\text{의 넓이}=\frac{1}{2}|15d-20c|=\frac{5}{2}|3d-4c|$이다. $\displaystyle |3d-4c|$는 자연수이므로 $\displaystyle \triangle OPQ$의 넓이는 $\displaystyle \frac{5}{2}$ 이상이다. $\displaystyle (c,d)=(1,1)$ 일 때 $\displaystyle |3d-4c|=1$이므로 $\displaystyle \triangle OPQ$의 넓이가 $\displaystyle \frac{5}{2}$가 될 수 있다. 따라서 $\displaystyle \triangle OPQ$의 넓이의 최솟값은 $\displaystyle \frac{5}{2}$이다.

(c)

주어진 조건을 만족하는 원 $\displaystyle C$의 반지름을 $\displaystyle r$라 하면 일단 $\displaystyle r>0$을 만족한다. 또한 $\displaystyle r$는 두 점 $\displaystyle \left(\pm1,\frac{1}{2}\right)$에 동시에 접하는 원 $\displaystyle C^{\prime}$의 반지름보다 작아야 한다. 이 원의 반지름을 $\displaystyle r_0$이라 하면 $\displaystyle r_0$은 두 점 $\displaystyle \left(1,\frac{1}{2}\right)$와 $\displaystyle \left(0,\frac{3}{2}\right)$ 사이의 거리가 된다. 따라서 $\displaystyle r_0=\sqrt{2}$이다. 원 $\displaystyle C^{\prime}$의 방정식 $\displaystyle x^2+\left(y-\frac{3}{2}\right)^2=2$와 곡선 $\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$을 연립해서 풀면 원 $\displaystyle C^{\prime}$와 곡선 $\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$는 두 점 $\displaystyle \left(\pm1,\frac{1}{2}\right)$에서만 만남을 알 수 있다. 그리고 주어진 조건을 만족하면서 반지름이 $\displaystyle 0<r<\sqrt{2}$인 원 $\displaystyle C$는 원 $\displaystyle C^{\prime}$와는 점 $\displaystyle \left(1,\frac{1}{2}\right)$과 원 $\displaystyle C^{\prime}$의 내부에서 내접하게 된다. 따라서 주어진 조건을 만족하고 반지름이 $\displaystyle 0<r<\sqrt{2}$인 원 $\displaystyle C$는 곡선 $\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$과는 점 $\displaystyle \left(1,\frac{1}{2}\right)$에서만 만나게 된다. 그러므로 주어진 조건을 만족하는 원의 반지름 $\displaystyle r$의 범위는 $\displaystyle 0<r<\sqrt{2}$가 된다.

(d)

두 점 $\displaystyle A\left(1,\frac{1}{2}\right)$과 $\displaystyle B\left(t,\frac{1}{2}t^2\right)$에서 곡선 $\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2$에 수직인 직선의 방정식은 각각 다음과 같다.$\displaystyle y=-(x-1)+\frac{1}{2},\ y=-\frac{1}{t}(x-t)+\frac{t^2}{2}$ (단, $\displaystyle t\ne1$)두 식을 연립하여 풀면 $\displaystyle x=-\frac{t(t+1)}{2}$와 $\displaystyle y=\frac{t(t+1)}{2}+\frac{3}{2}$ (단, $\displaystyle t\ne1$)를 얻는다. 즉, 점 $\displaystyle D$의 좌표는 $\displaystyle \left(-\frac{t(t+1)}{2},\frac{t(t+1)}{2}+\frac{3}{2}\right)$이다.

(e)

문제 (d)에서 점 $\displaystyle D$는 직선 $\displaystyle y=-x+\frac{3}{2}$ 위를 움직이고 $\displaystyle 2\le t\le4$에서 $\displaystyle x$좌표와 $\displaystyle y$좌표는 각각 $\displaystyle t$에 대한 감소함수이고 증가함수임을 알 수 있다. 따라서 선분 $\displaystyle BD$가 쓸고 지나가는 영역은 세 직선 $\displaystyle y=-x+\frac{3}{2}$, $\displaystyle y=-\frac{1}{2}x+3$, $\displaystyle y=-\frac{1}{4}x+9$과 곡선 $\displaystyle y=\frac{1}{2}x^2\ (2\le x\le4)$으로 둘러싸인 영역이 된다. 따라서 영역의 넓이는 다음과 같다.$\displaystyle \int_{-10}^4\left(-\frac{1}{4}x+9\right)dx-\int_{-10}^{-3}\left(-x+\frac{3}{2}\right)dx-\int_{-3}^2\left(-\frac{1}{2}x+3\right)dx-\int_2^4\frac{1}{2}x^2\,dx=\frac{659}{12}$