자연계열 2번

[문제 2]

좌표평면에서 원 $\displaystyle x^2+(y+3)^2=25$의 중심은 (0, -3)이고 반지름의 길이는 5이며, $\displaystyle x$축을 두 점 (-4, 0)과 (4, 0)에서 지난다. 그러므로 구하는 활꼴의 현의 길이는 8이고 시의 길이가 2이다. 따라서 공식 ①에 따른 넓이는 $\displaystyle \frac{16+2^2}{2}=10$이다.

또 이 활꼴의 넓이를 정적분으로 구하는 식은 다음과 같다.

$\displaystyle 2\int_0^4(\sqrt{5^2-x^2}-3)dx$ 또는 $\displaystyle 2\int_0^4\sqrt{5^2-x^2}dx-2\int_0^4 3dx$

$\displaystyle x=5\sin\theta$로 치환하면 $\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=5\cos\theta$이고, $\displaystyle x=0$일 때 $\displaystyle \theta=0$이며 $\displaystyle x=4$일 때 $\displaystyle \theta=0.925$이므로, 위의 정적분의 값은 다음과 같이 구할 수 있다.

$\displaystyle \begin{aligned}2\int_0^4\sqrt{5^2-x^2}dx-2\int_0^4 3dx&=2\int_0^{0.925}\sqrt{5^2-5^2\sin^2\theta}\,5\cos\theta\,d\theta-2\Biggl[3x\Biggr]_0^4\\ &=2\int_0^{0.925}5^2\cos^2\theta\,d\theta-24\\ &=5^2\int_0^{0.925}(1+\cos2\theta)d\theta-24\\ &=5^2\Biggl[\theta+\frac{\sin2\theta}{2}\Biggr]_0^{0.925}-24\\ &=5^2\Biggl[\theta+\sin\theta\cos\theta\Biggr]_0^{0.925}-24\\ &=5^2(0.925+0.8\cdot0.6)-24\\ &=25\cdot1.405-24=35.125-24=11.125\end{aligned}$