광운대 2014학년도 수시 1차 자연계열 1번 해설

[문제 1] 다음 제시문을 이용하여 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (50점)

1. $\displaystyle \mathbb{N}$ 는 자연수 전체의 집합이고 $\displaystyle \mathbb{R}$ 는 실수 전체의 집합이다.

2. $\displaystyle M _{2} \left ( \mathbb{R} \right )$ 는 모든 성분이 실수인 $\displaystyle 2 \times 2$ 행렬 전체의 집합이다.

3. 행렬 $\displaystyle A= {\begin{pmatrix}a& b\\ c& d\end{pmatrix}} \in M _{2} \left ( \mathbb{R} \right )$ 에 대하여 $\displaystyle \det \left ( A \right ) =ad-bc$ 로 정의하면, 두 행렬 $\displaystyle A, B \in M _{2} \left ( \mathbb{R} \right )$ 에 대하여 $\displaystyle \det \left ( AB \right ) =\det \left ( A \right ) \det \left ( B \right )$ 이다.

4. 미지수 $\displaystyle x, y$ 에 대한 연립방정식

$\displaystyle {\begin{cases}ax+by=s\\ cx+dy=t\end{cases}}$ (단, $\displaystyle a, b, c, d, s, t$ 는 실수이다.)

은 다음과 같이 행렬의 곱을 이용하여 표현할 수 있다.

$\displaystyle A= {\begin{pmatrix}a& b\\ c& d\end{pmatrix}} , X= {\begin{pmatrix}x\\ y\end{pmatrix}} , B= {\begin{pmatrix}s\\ t\end{pmatrix}}$ 에 대하여 $\displaystyle AX=B$

또한 연립방정식 $\displaystyle AX=B$ 의 해가 존재하면 해는 단 한 쌍 존재하거나 무한히 많이 존재한다.

5. 수열 $\displaystyle \left\{ a _{n} \right\} , \left\{ b _{n} \right\} , \left\{ c _{n} \right\} , \left\{ d _{n} \right\}$ 의 극한값이 모두 존재할 때 행렬 $\displaystyle A _{n} = {\begin{pmatrix}a _{n}& b _{n}\\ c _{n}& d _{n}\end{pmatrix}}$ 의 극한을 $\displaystyle \lim _{n \to \infty } {A _{n} = {\begin{pmatrix}\lim _{n \to \infty } {a _{n}}& \lim _{n \to \infty } {b _{n}}\\ \lim _{n \to \infty } {c _{n}}& \lim _{n \to \infty } {d _{n}}\end{pmatrix}}}$ 으로 정의한다.

[1] $\displaystyle f :\mathbb{N} \to\mathbb{N}$ 와 $\displaystyle g :$ $\displaystyle \mathbb{N} \to\mathbb{N}$ 는 임의의 $\displaystyle n \in\mathbb{N}$ 에 대하여 다음과 같이 정의된 함수이다.

$\displaystyle f \left ( n \right ) =n$ 의 모든 양의 약수의 개수, $\displaystyle g \left ( n \right ) =n$ 의 모든 양의 약수의 합

함수 $\displaystyle h :$ $\displaystyle \mathbb{N}\to M _{2} \left ( \mathbb{R} \right )$ 를 임의의 $\displaystyle n \in\mathbb{N}$ 에 대하여 $\displaystyle h \left ( n \right ) = {\begin{pmatrix}f \left ( 21n \right )& g \left ( 2n+4 \right )\\ -f \left ( 5n+4 \right )& -g \left ( 4n-1 \right )\end{pmatrix}}$ 으로 정의하고 $\displaystyle A=h \left ( 2 \right )$ 라 하자. 이때 행렬 $\displaystyle B= {\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}}$ 에 대하여 연립방정식 $\displaystyle A ^{3} X=B$ 의 해를 구하시오.

[2] 양수 $\displaystyle r$ 에 대하여 점 $\displaystyle \mathrm{T} \left ( r, 0 \right )$ 를 원점을 중심으로 시계반대방향으로 각 $\displaystyle \alpha , \beta$ 만큼 회전하여 얻는 점을 각각 $\displaystyle \mathrm{P} \left ( a, b \right )$ 와 $\displaystyle \mathrm{Q} \left ( c, d \right )$ 라 하자. 행렬 $\displaystyle K= {\begin{pmatrix}a& c\\ b& d\end{pmatrix}}$ 와 함수 $\displaystyle f : M _{2} \left ( \mathbb{R} \right ) \to M _{2} \left ( \mathbb{R} \right ) , f \left ( A \right ) =AK \left ( A \in M _{2} \left ( \mathbb{R} \right ) \right )$ 에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) 행렬 $\displaystyle K$ 를 $\displaystyle r, \alpha , \beta$ 를 이용하여 나타내시오.

(2) 행렬 $\displaystyle B= {\begin{pmatrix}1\\ 1\end{pmatrix}}$ 에 대하여 연립방정식 $\displaystyle KX=B$ 가 단 한 쌍의 해를 갖게 하는 각 $\displaystyle \alpha , \beta$ 의 관계를 구하시오.

(3) 행렬 $\displaystyle B= {\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}}$ 에 대하여 연립방정식 $\displaystyle AX=B$ 가 단 한 쌍의 해를 가질 때 연립방정식 $\displaystyle f \left ( A \right ) X=B$ 의 해의 존재에 대하여 설명하시오.

[3] 평면 위의 점 $\displaystyle \mathrm{P} \left ( a, c \right ) , \mathrm{Q} \left ( b, d \right )$ 를 원점을 중심으로 시계반대방향으로 각 $\displaystyle \theta$ 만큼 회전하여 얻는 점을 각각 $\displaystyle \mathrm{P} _{1} \left ( a _{1} , a _{3} \right ) , \mathrm{Q} _{1} \left ( a _{2} , a _{4} \right )$ 라 하자. 두 행렬 $\displaystyle A, R _{\theta } \in M _{2} \left ( \mathbb{R} \right )$ 를 각각 $\displaystyle A= {\begin{pmatrix}a& b\\ c& d\end{pmatrix}} , R _{\theta } = {\begin{pmatrix}a _{1}& a _{2}\\ a _{3}& a _{4}\end{pmatrix}}$ 로 정의할 때 다음 명제의 참 또는 거짓을 판정하고, 참이면 증명하고 거짓이면 반례를 제시하여 설명하시오.

“연립방정식 $\displaystyle AX=O$ 가 단 한 쌍의 해를 가지면, 임의의 각 $\displaystyle \theta$ 에 대하여 연립방정식 $\displaystyle R _{\theta } X=O$ 가 단 한 쌍의 해를 갖는다.”(단, $\displaystyle O$ 는 모든 성분이 0인 $\displaystyle 2 \times 1$ 행렬이다.)

[4] 극한값을 갖는 수열 $\displaystyle \left\{ a _{n} \right\} , \left\{ b _{n} \right\} , \left\{ c _{n} \right\} , \left\{ d _{n} \right\}$ 로 이루어진 행렬 $\displaystyle A _{n} = {\begin{pmatrix}a _{n}& b _{n}\\ c _{n}& d _{n}\end{pmatrix}}$ 에 대해 $\displaystyle A= \lim _{n \to \infty } {A _{n}}$ 이라 하자. 이때 다음 명제의 참 또는 거짓을 판정하고, 참이면 증명하고 거짓이면 반례를 제시하여 설명하시오.

“ $\displaystyle B= {\begin{pmatrix}1\\ 2\end{pmatrix}}$ 일 때 모든 $\displaystyle n$ 에 대하여 연립방정식 $\displaystyle A _{n} X=B$ 의 해가 존재하면, 연립방정식 $\displaystyle AX=B$ 의 해가 존재한다.”

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[1] $\displaystyle h \left ( 2 \right ) = {\begin{pmatrix}f \left ( 42 \right )& g \left ( 8 \right )\\ -f \left ( 14 \right )& -g \left ( 7 \right )\end{pmatrix}} , f \left ( 42 \right ) =8, f \left ( 14 \right ) =4, g \left ( 8 \right ) =15, g \left ( 7 \right ) =8$ 이므로 $\displaystyle A=h \left ( 2 \right ) = {\begin{pmatrix}8& 15\\ -4& -8\end{pmatrix}}$ 이다. 그런데 $\displaystyle A ^{3} = {\begin{pmatrix}32& 60\\ -16& -32\end{pmatrix}}$ 이므로 주어진 연립방정식은 $\displaystyle {\begin{cases}32x+60y=1\\ -16x-32y=0\end{cases}}$ 이다. 그러므로 $\displaystyle A ^{3} X=B$ 의 해는 $\displaystyle x= \frac{1}{2} , y=- \frac{1}{4}$ 이다.

[2] (1) $\displaystyle a=r \cos \alpha , b=r \sin \alpha , c=r \cos \beta , d=r \sin \beta$ 이다. 따라서 $\displaystyle K= {\begin{pmatrix}r \cos \alpha & r \cos \beta \\ r \sin \alpha & r \sin \beta \end{pmatrix}}$ 이다.

(2) $\displaystyle \det \left ( K \right ) =r ^{2} \left ( \cos \alpha \sin \beta -\cos \beta \sin \alpha \right ) =r ^{2} \left\{ \cos \left ( -\alpha \right ) \sin \beta +\cos \beta \sin \left ( -\alpha \right ) \right\} =r ^{2} \sin \left ( \beta -\alpha \right )$ 이다. 연립방정식 $\displaystyle KX=B$ 가 단 한 쌍의 해를 갖기 위해서는 $\displaystyle \det \left ( K \right ) \ne 0$ 이어야 하므로 $\displaystyle \beta - \alpha \ne n \pi$ ( $\displaystyle n$ 은 정수)이다.

(3) $\displaystyle \det \left ( f \left ( A \right ) \right ) =\det \left ( AK \right ) =\det \left ( A \right ) \det \left ( K \right )$ 이다. 그런데 연립방정식 $\displaystyle AX=B$ 는 단 한 쌍의 해를 가지므로 $\displaystyle \det \left ( A \right ) \ne 0$ 이다. 만일 $\displaystyle \det \left ( K \right ) \ne 0$ 이면 $\displaystyle \det \left ( f \left ( A \right ) \right ) \ne 0$ 이므로 $\displaystyle f \left ( A \right ) X=B$ 는 단 한 쌍의 해를 갖는다. 만일 $\displaystyle \det \left ( K \right ) =0$ 이면 $\displaystyle \det \left ( f \left ( A \right ) \right ) =0$ 이므로 $\displaystyle f \left ( A \right ) X=B$ 의 해는 존재하지 않거나 무한히 많이 존재한다.

[3]“참”이다.

(증명) $\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix}a\\ c\end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix}a _{1}\\ a _{3}\end{pmatrix}}$ 이고 $\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix}b\\ d\end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix}a _{2}\\ a _{4}\end{pmatrix}}$ 이다. 따라서 $\displaystyle B= {\begin{pmatrix}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}}$ 로 놓으면 $\displaystyle BA=R _{\theta }$ 이고 $\displaystyle \det \left ( B \right ) =\cos ^{2} \theta +\sin ^{2} \theta =1$ 이다. 그런데 연립방정식 $\displaystyle AX=O$ 가 단 한 쌍의 해를 가지면 $\displaystyle \det \left ( A \right ) \ne 0$ 이고 $\displaystyle \det \left ( R _{\theta } \right ) =\det \left ( BA \right ) =\det \left ( B \right ) \det \left ( A \right ) \ne 0$ 이므로 $\displaystyle R _{\theta } X=O$ 는 단 한 쌍의 해를 갖는다.

[4]“거짓”이다.

(반례) 행렬 $\displaystyle A _{n} = {\begin{pmatrix}1& 0\\ 0& \frac{1}{n}\end{pmatrix}}$ 에 대하여 $\displaystyle \det \left ( A _{n} \right ) = \frac{1}{n} \ne 0$ 이므로 연립방정식 $\displaystyle A _{n} X=B$ 의 해가 존재한다. 그런데 $\displaystyle \lim _{n \to \infty } {A _{n} = {\begin{pmatrix}1&0\\ 0&0\end{pmatrix}} =A}$ 이므로 $\displaystyle AX=B$ 로부터 $\displaystyle {\begin{cases}1x+0y=1\\ 0x+0y=2\end{cases}}$ 가 되어 해가 존재하지 않는다.

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