자연계열 1번

[1] $\displaystyle h \left ( 2 \right ) = {\begin{pmatrix}f \left ( 42 \right )& g \left ( 8 \right )\\ -f \left ( 14 \right )& -g \left ( 7 \right )\end{pmatrix}} , f \left ( 42 \right ) =8, f \left ( 14 \right ) =4, g \left ( 8 \right ) =15, g \left ( 7 \right ) =8$이므로 $\displaystyle A=h \left ( 2 \right ) = {\begin{pmatrix}8& 15\\ -4& -8\end{pmatrix}}$이다. 그런데 $\displaystyle A ^{3} = {\begin{pmatrix}32& 60\\ -16& -32\end{pmatrix}}$이므로 주어진 연립방정식은 $\displaystyle {\begin{cases}32x+60y=1\\ -16x-32y=0\end{cases}}$이다. 그러므로 $\displaystyle A ^{3} X=B$의 해는 $\displaystyle x= \frac{1}{2} , y=- \frac{1}{4}$이다.

[2] (1) $\displaystyle a=r \cos \alpha , b=r \sin \alpha , c=r \cos \beta , d=r \sin \beta$이다. 따라서 $\displaystyle K= {\begin{pmatrix}r \cos \alpha & r \cos \beta \\ r \sin \alpha & r \sin \beta \end{pmatrix}}$이다.

(2) $\displaystyle \det \left ( K \right ) =r ^{2} \left ( \cos \alpha \sin \beta -\cos \beta \sin \alpha \right ) =r ^{2} \left\{ \cos \left ( -\alpha \right ) \sin \beta +\cos \beta \sin \left ( -\alpha \right ) \right\} =r ^{2} \sin \left ( \beta -\alpha \right )$ 이다. 연립방정식 $\displaystyle KX=B$가 단 한 쌍의 해를 갖기 위해서는 $\displaystyle \det \left ( K \right ) \ne 0$이어야 하므로 $\displaystyle \beta - \alpha \ne n \pi$ ($\displaystyle n$은 정수)이다.

(3) $\displaystyle \det \left ( f \left ( A \right ) \right ) =\det \left ( AK \right ) =\det \left ( A \right ) \det \left ( K \right )$이다. 그런데 연립방정식 $\displaystyle AX=B$는 단 한 쌍의 해를 가지므로 $\displaystyle \det \left ( A \right ) \ne 0$이다. 만일 $\displaystyle \det \left ( K \right ) \ne 0$이면 $\displaystyle \det \left ( f \left ( A \right ) \right ) \ne 0$이므로 $\displaystyle f \left ( A \right ) X=B$는 단 한 쌍의 해를 갖는다. 만일 $\displaystyle \det \left ( K \right ) =0$이면 $\displaystyle \det \left ( f \left ( A \right ) \right ) =0$이므로 $\displaystyle f \left ( A \right ) X=B$의 해는 존재하지 않거나 무한히 많이 존재한다.

[3]“참”이다.

(증명) $\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix}a\\ c\end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix}a _{1}\\ a _{3}\end{pmatrix}}$이고 $\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix}b\\ d\end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix}a _{2}\\ a _{4}\end{pmatrix}}$이다. 따라서 $\displaystyle B= {\begin{pmatrix}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}}$로 놓으면 $\displaystyle BA=R _{\theta }$이고 $\displaystyle \det \left ( B \right ) =\cos ^{2} \theta +\sin ^{2} \theta =1$이다. 그런데 연립방정식 $\displaystyle AX=O$가 단 한 쌍의 해를 가지면 $\displaystyle \det \left ( A \right ) \ne 0$이고 $\displaystyle \det \left ( R _{\theta } \right ) =\det \left ( BA \right ) =\det \left ( B \right ) \det \left ( A \right ) \ne 0$이므로 $\displaystyle R _{\theta } X=O$는 단 한 쌍의 해를 갖는다.

[4]“거짓”이다.

(반례) 행렬 $\displaystyle A _{n} = {\begin{pmatrix}1& 0\\ 0& \frac{1}{n}\end{pmatrix}}$에 대하여 $\displaystyle \det \left ( A _{n} \right ) = \frac{1}{n} \ne 0$이므로 연립방정식 $\displaystyle A _{n} X=B$의 해가 존재한다. 그런데 $\displaystyle \lim _{n \to \infty } {A _{n} = {\begin{pmatrix}1&0\\ 0&0\end{pmatrix}} =A}$이므로 $\displaystyle AX=B$로부터 $\displaystyle {\begin{cases}1x+0y=1\\ 0x+0y=2\end{cases}}$가 되어 해가 존재하지 않는다.