자연계열 2번

[1] $\displaystyle f \left ( u \right ) =u, g \left ( u \right ) = \frac{e ^{u} +e ^{-u}}{2}$라고 하면 $\displaystyle f^{\prime} \left ( u \right ) =1, g^{\prime} \left ( u \right ) = \frac{e ^{u} -e ^{-u}}{2}$이므로

$\displaystyle \left\{ f ^{\prime} \left ( u \right ) \right\} ^{2} + \left\{ g ^{\prime} \left ( u \right ) \right\} ^{2} =1+ \frac{e ^{2u} -2+e ^{-2u}}{4} = \left ( \frac{e ^{u} +e ^{-u}}{2} \right ) ^{2}$

따라서 $\displaystyle s \left ( t \right ) = \int _{0} ^{t} {\sqrt {\left\{ f ^{\prime} \left ( u \right ) \right\} ^{2} + \left\{ g ^{\prime} \left ( u \right ) \right\} ^{2}}} du= \int _{0} ^{t} {\frac{e ^{u} +e ^{-u}}{2} du}$이므로

$\displaystyle \boxed{s \left ( t \right ) = \frac{e ^{t} -e ^{-t}}{2} , t \ge 0}$

[2] 식 $\displaystyle s= \frac{e ^{t} -e ^{-t}}{2}$에서 $\displaystyle t$를 $\displaystyle s$의 함수로 보고, 음함수의 미분법을 사용하여 양변을 변수 $\displaystyle s$에 대해 미분하면$\displaystyle 1= \left ( \frac{e ^{t} +e ^{-t}}{2} \right ) \frac{dt}{ds}$

한편, 제시문의 항등식에서 $\displaystyle \left ( \frac{e ^{t} +e ^{-t}}{2} \right ) ^{2} -s ^{2} =1$이고, 또한 $\displaystyle \frac{e ^{t} +e ^{-t}}{2} >0$이므로

$\displaystyle \frac{e ^{t} +e ^{-t}}{2} = \sqrt {s ^{2} +1}$이다. 따라서

$\displaystyle \boxed{\frac{dt}{ds} = \frac{1}{\sqrt {s ^{2} +1}} , s \ge 0}$

[3] 문항 [1]에서 구한 식 $\displaystyle s \left ( t \right ) = \frac{e ^{t} -e ^{-t}}{2}$의 양변에 $\displaystyle e ^{t}$를 곱하여 정리하면

$\displaystyle e ^{2t} -2se ^{t} -1=0$

여기서 $\displaystyle e ^{t} >0$이므로 $\displaystyle e ^{t} =s+ \sqrt {s ^{2} +1}$ 따라서 구하는 역함수는

$\displaystyle \boxed{t \left ( s \right ) =\ln \left ( s+ \sqrt {s ^{2} +1} \right ) , s \ge 0}$

[4] $\displaystyle e ^{t} =e ^{\ln \left ( s+ \sqrt {s ^{2} +1} \right )} =s+ \sqrt {s ^{2} +1} , e ^{-t} =e ^{-\ln \left ( s+ \sqrt {s ^{2} +1} \right )} = \frac{1}{s+ \sqrt {s ^{2} +1}} = \sqrt {s ^{2} +1} -s$이므로

$\displaystyle x=t, y= \frac{e ^{t} +e ^{-t}}{2}$에서

$\displaystyle \boxed{x \left ( s \right ) =\ln \left ( s+ \sqrt {s ^{2} +1} \right ) , y \left ( s \right ) = \sqrt {s ^{2} +1} , s \ge 0}$

[5] $\displaystyle \frac{dx}{ds} = \frac{1+ \frac{s}{\sqrt {s ^{2} +1}}}{s+ \sqrt {s ^{2} +1}} = \frac{1}{\sqrt {s ^{2} +1}} , \frac{dy}{ds} = \frac{s}{\sqrt {s ^{2} +1}}$이므로

$\displaystyle \left ( \frac{dx}{ds} \right ) ^{2} + \left ( \frac{dy}{ds} \right ) ^{2} = \frac{1}{s ^{2} +1} + \frac{s ^{2}}{s ^{2} +1} =1$

$\displaystyle \boxed{\sqrt {\left ( \frac{dx}{ds} \right ) ^{2} + \left ( \frac{dy}{ds} \right ) ^{2}} =1}$