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자연계열 2번

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광운대 2014학년도 수시 1차 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/kw/2014su_1/jayeon_2

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문제

[문제 2] 다음 제시문을 이용하여 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (50점)

[곡선의 길이] 평면 위를 움직이는 점 P(x,y)\displaystyle \mathrm{P} \left ( x, y \right )의 위치가 매개변수 함수 x=f(t),y=g(t)\displaystyle x=f \left ( t \right ) , y=g \left ( t \right )로 주어질 때 시각 t=a\displaystyle t=a에서 시각 t=b\displaystyle t=b까지 점 P\displaystyle \mathrm{P}가 그리는 곡선의 길이 s\displaystyle s는 다음과 같다.

s=∫ab{f′(t)}2+{g′(t)}2dt\displaystyle s= \int _{a} ^{b} {\sqrt {\left\{ f^{\prime} \left ( t \right ) \right\} ^{2} + \left\{ g^{\prime} \left ( t \right ) \right\} ^{2}}} dt

[합성함수의 미분법] 두 함수 y=f(u),u=g(x)\displaystyle y=f \left ( u \right ) , u=g \left ( x \right )가 미분가능할 때, 합성함수 y=f(g(x))\displaystyle y=f \left ( g \left ( x \right ) \right )의 도함수 dydx\displaystyle \frac{dy}{dx}는 다음과 같다.

dydx=dydududx=f′(g(x))g′(x)\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} =f^{\prime} \left ( g \left ( x \right ) \right ) g^{\prime} \left ( x \right )

[음함수의 미분법] x\displaystyle x의 함수 y\displaystyle y가 f(x,y)=0\displaystyle f \left ( x, y \right ) =0의 꼴로 주어졌을 때, y\displaystyle y를 x\displaystyle x의 음함수라 한다. x\displaystyle x의 함수 y\displaystyle y가 음함수 f(x,y)=0\displaystyle f \left ( x, y \right ) =0의 꼴로 주어질 때, y\displaystyle y를 x\displaystyle x의 함수로 보고 각 항을 x\displaystyle x에 대하여 미분하여 도함수 dydx\displaystyle \frac{dy}{dx}를 구한다.

[항등식] 임의의 실수 θ\displaystyle \theta에 대해 (eθ+e−θ2)2−(eθ−e−θ2)2=1\displaystyle \left ( \frac{e ^{\theta } +e ^{-\theta }}{2} \right ) ^{2} - \left ( \frac{e ^{\theta } -e ^{-\theta }}{2} \right ) ^{2} =1

[1] 평면 위를 움직이는 점 P(x,y)\displaystyle \mathrm{P} \left ( x, y \right )의 위치가 아래와 같이 매개변수 u\displaystyle u의 함수로 주어질 때, 시각 u=0\displaystyle u=0에서 시각 u=t(t≥0)\displaystyle u=t \left ( t \ge 0 \right )까지 점 P\displaystyle \mathrm{P}가 그리는 곡선의 길이 s\displaystyle s를 t\displaystyle t의 함수로 나타내시오.

x=u,y=eu+e−u2(u≥0)\displaystyle x=u, y= \frac{e ^{u} +e ^{-u}}{2} \left ( u \ge 0 \right )

[2] 음함수의 미분법을 이용하여, 문항 [1]에서 얻은 함수 s(t)\displaystyle s \left ( t \right )의 역함수 t(s)\displaystyle t \left ( s \right )의 도함수 dtds\displaystyle \frac{dt}{ds}를 s\displaystyle s의 함수로 나타내시오. (단, 함수 s(t)\displaystyle s \left ( t \right )의 역함수 t(s)\displaystyle t \left ( s \right )가 존재하고 미분가능하다고 가정한다.)

[3] 문항 [1]에서 얻은 함수 s(t)\displaystyle s \left ( t \right )의 역함수 t(s)\displaystyle t \left ( s \right )를 변수 s\displaystyle s로 나타내시오.

[4] 문항 [3]에서 얻은 역함수 t=t(s)\displaystyle t=t \left ( s \right )를 이용하여, 시각 u=t\displaystyle u=t일 때 문항 [1]의 점 P(x,y)\displaystyle \mathrm{P} \left ( x, y \right )의 위치를 변수 s\displaystyle s의 함수로 나타내시오.

[5] 문항 [4]에서 얻은 x,y\displaystyle x, y에 대하여 (dxds)2+(dyds)2\displaystyle \sqrt {\left ( \frac{dx}{ds} \right ) ^{2} + \left ( \frac{dy}{ds} \right ) ^{2}}를 구하시오.

해설강의 준비중

광운대 2014학년도 수시 1차 자연계열 2번 · mathesis.kr/archive/kw/2014su_1/jayeon_2

[1] f(u)=u,g(u)=eu+e−u2\displaystyle f \left ( u \right ) =u, g \left ( u \right ) = \frac{e ^{u} +e ^{-u}}{2}라고 하면 f′(u)=1,g′(u)=eu−e−u2\displaystyle f^{\prime} \left ( u \right ) =1, g^{\prime} \left ( u \right ) = \frac{e ^{u} -e ^{-u}}{2}이므로

{f′(u)}2+{g′(u)}2=1+e2u−2+e−2u4=(eu+e−u2)2\displaystyle \left\{ f ^{\prime} \left ( u \right ) \right\} ^{2} + \left\{ g ^{\prime} \left ( u \right ) \right\} ^{2} =1+ \frac{e ^{2u} -2+e ^{-2u}}{4} = \left ( \frac{e ^{u} +e ^{-u}}{2} \right ) ^{2}

따라서 s(t)=∫0t{f′(u)}2+{g′(u)}2du=∫0teu+e−u2du\displaystyle s \left ( t \right ) = \int _{0} ^{t} {\sqrt {\left\{ f ^{\prime} \left ( u \right ) \right\} ^{2} + \left\{ g ^{\prime} \left ( u \right ) \right\} ^{2}}} du= \int _{0} ^{t} {\frac{e ^{u} +e ^{-u}}{2} du}이므로

s(t)=et−e−t2,t≥0\displaystyle \boxed{s \left ( t \right ) = \frac{e ^{t} -e ^{-t}}{2} , t \ge 0}

[2] 식 s=et−e−t2\displaystyle s= \frac{e ^{t} -e ^{-t}}{2}에서 t\displaystyle t를 s\displaystyle s의 함수로 보고, 음함수의 미분법을 사용하여 양변을 변수 s\displaystyle s에 대해 미분하면1=(et+e−t2)dtds\displaystyle 1= \left ( \frac{e ^{t} +e ^{-t}}{2} \right ) \frac{dt}{ds}

한편, 제시문의 항등식에서 (et+e−t2)2−s2=1\displaystyle \left ( \frac{e ^{t} +e ^{-t}}{2} \right ) ^{2} -s ^{2} =1이고, 또한 et+e−t2>0\displaystyle \frac{e ^{t} +e ^{-t}}{2} >0이므로

et+e−t2=s2+1\displaystyle \frac{e ^{t} +e ^{-t}}{2} = \sqrt {s ^{2} +1}이다. 따라서

dtds=1s2+1,s≥0\displaystyle \boxed{\frac{dt}{ds} = \frac{1}{\sqrt {s ^{2} +1}} , s \ge 0}

[3] 문항 [1]에서 구한 식 s(t)=et−e−t2\displaystyle s \left ( t \right ) = \frac{e ^{t} -e ^{-t}}{2}의 양변에 et\displaystyle e ^{t}를 곱하여 정리하면

e2t−2set−1=0\displaystyle e ^{2t} -2se ^{t} -1=0

여기서 et>0\displaystyle e ^{t} >0이므로 et=s+s2+1\displaystyle e ^{t} =s+ \sqrt {s ^{2} +1} 따라서 구하는 역함수는

t(s)=ln⁡(s+s2+1),s≥0\displaystyle \boxed{t \left ( s \right ) =\ln \left ( s+ \sqrt {s ^{2} +1} \right ) , s \ge 0}

[4] et=eln⁡(s+s2+1)=s+s2+1,e−t=e−ln⁡(s+s2+1)=1s+s2+1=s2+1−s\displaystyle e ^{t} =e ^{\ln \left ( s+ \sqrt {s ^{2} +1} \right )} =s+ \sqrt {s ^{2} +1} , e ^{-t} =e ^{-\ln \left ( s+ \sqrt {s ^{2} +1} \right )} = \frac{1}{s+ \sqrt {s ^{2} +1}} = \sqrt {s ^{2} +1} -s이므로

x=t,y=et+e−t2\displaystyle x=t, y= \frac{e ^{t} +e ^{-t}}{2}에서

x(s)=ln⁡(s+s2+1),y(s)=s2+1,s≥0\displaystyle \boxed{x \left ( s \right ) =\ln \left ( s+ \sqrt {s ^{2} +1} \right ) , y \left ( s \right ) = \sqrt {s ^{2} +1} , s \ge 0}

[5] dxds=1+ss2+1s+s2+1=1s2+1,dyds=ss2+1\displaystyle \frac{dx}{ds} = \frac{1+ \frac{s}{\sqrt {s ^{2} +1}}}{s+ \sqrt {s ^{2} +1}} = \frac{1}{\sqrt {s ^{2} +1}} , \frac{dy}{ds} = \frac{s}{\sqrt {s ^{2} +1}}이므로

(dxds)2+(dyds)2=1s2+1+s2s2+1=1\displaystyle \left ( \frac{dx}{ds} \right ) ^{2} + \left ( \frac{dy}{ds} \right ) ^{2} = \frac{1}{s ^{2} +1} + \frac{s ^{2}}{s ^{2} +1} =1

(dxds)2+(dyds)2=1\displaystyle \boxed{\sqrt {\left ( \frac{dx}{ds} \right ) ^{2} + \left ( \frac{dy}{ds} \right ) ^{2}} =1}

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