자연계열 1번

[1] $\displaystyle f \in G _{N _{4}} \Rightarrow f(x)=f(x) ^{2} , (x \in N _{4} ) \Rightarrow f(x)=0\text{ 또는 }f(x)=1 , ( x \in N _{4} )$이다.

그런데 $\displaystyle N _{4} = \left\{ 0,1 \right\}$이므로 $\displaystyle f \in G _{N _{4}}$는 다음과 같이 4가지 경우뿐이다.

①$\displaystyle f(0)=0, f(1)=0$ ②$\displaystyle f(0)=1, f(1)=1$ ③$\displaystyle f(0)=0, f(1)=1$ ④$\displaystyle f(0)=1, f(1)=0$

따라서 ①,②,③,④와 같이 정의된 함수를 각각 $\displaystyle f _{1} , f _{2} , f _{3} , f _{4}$라 놓으면 $\displaystyle G _{N _{4}} = \left\{ f _{1} ,f _{2} , f _{3} , f _{4} \right\}$이다.

[2] 집합 $\displaystyle N _{1}$에서 집합 $\displaystyle N _{3}$로의 일대일함수가 존재하려면 $\displaystyle N _{3}$에 속하는 원소의 개수가 $\displaystyle N _{1}$에 속하는 원소의 개수 이상이어야 한다. 그런데 집합 $\displaystyle N _{1}$에 속하는 원소의 개수는 무수히 많고 집합 $\displaystyle N _{3}$에 속하는 원소의 개수는 $\displaystyle 3$이므로 $\displaystyle N _{1}$에서 $\displaystyle N _{3}$로의 일대일함수는 존재하지 않는다. 따라서 $\displaystyle F _{N _{1} ,N _{3}} = \varnothing$이다.

[3] $\displaystyle f \in G _{A _{2}} \Rightarrow f(x)=f(x) ^{2} \Rightarrow f(x)=0\text{ 또는 }f(x)=1$이다. 그런데 집합 $\displaystyle A _{2}$에 속하는 원소의 개수는 $\displaystyle 3$이상이므로 $\displaystyle f$는 일대일함수가 아니다. 따라서 $\displaystyle f \notin F _{A _{2 } ,N _{1}}$이므로 $\displaystyle G _{A _{2}} \cap F _{A _{2 } ,N _{1}} = \varnothing$이다.

[4] 등식이 성립하지 않는다.

(반례) $\displaystyle f(x)=x ^{3} , g(x)=x, h(x)=x+1 ( x \in N _{1} )$으로 정의하면 $\displaystyle f,g,h$는 모두 일대일 함수이므로

$\displaystyle f, g, h \in F _{N _{1} ,N _{1}}$이다.

$\displaystyle (f \circ (g+h))(x)=f((g+h)(x))=f(g(x)+h(x))=f(2x+1)=(2x+1) ^{3}$이고

$\displaystyle ((f \circ g)+(f \circ h))(x)=(f \circ g)(x)+(f \circ h)(x)=f(g(x))+f(h(x))=f(x)+f(x+1)=x ^{3} +(x+1) ^{3}$이다.

그런데 $\displaystyle x \ne 0, x \ne - \frac{1}{2} ,$ $\displaystyle x \ne -1$인 모든 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle (2x+1) ^{3} \ne x ^{3} +(x+1) ^{3}$이다. 따라서

$\displaystyle (f \circ (g+h))(x) \ne ((f \circ g)+(f \circ h))(x)$이므로 $\displaystyle f \circ (g+h) \ne f \circ g+f \circ h$이다.

[5] $\displaystyle \begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}\in A_3$이라면 $\displaystyle a _{11} a _{22} =a _{12} a _{21}$이고 $\displaystyle a _{11} , a _{12} , a _{21} , a _{22}$가 $\displaystyle N _{3}$에 속하므로 $\displaystyle a _{12} =a _{11}$ 또는

$\displaystyle a _{12} =a _{22}$이다. 만일 $\displaystyle a _{12} =a _{11}$이라면 $\displaystyle a _{21} =a _{22}$이고 만일 $\displaystyle a _{12} =a _{22}$이라면 $\displaystyle a _{21} =a _{11}$이다. 따라서 $\displaystyle A _{3}$에 속하는 원소는 다음과 같다.

$\displaystyle \begin{pmatrix}3&3\\3&3\end{pmatrix}$, $\displaystyle \begin{pmatrix}5&5\\5&5\end{pmatrix}$, $\displaystyle \begin{pmatrix}7&7\\7&7\end{pmatrix}$, $\displaystyle \begin{pmatrix}3&3\\5&5\end{pmatrix}$, $\displaystyle \begin{pmatrix}3&3\\7&7\end{pmatrix}$, $\displaystyle \begin{pmatrix}3&5\\3&5\end{pmatrix}$, $\displaystyle \begin{pmatrix}3&7\\3&7\end{pmatrix}$, $\displaystyle \begin{pmatrix}5&5\\3&3\end{pmatrix}$, $\displaystyle \begin{pmatrix}5&5\\7&7\end{pmatrix}$, $\displaystyle \begin{pmatrix}5&3\\5&3\end{pmatrix}$, $\displaystyle \begin{pmatrix}5&7\\5&7\end{pmatrix}$, $\displaystyle \begin{pmatrix}7&7\\3&3\end{pmatrix}$, $\displaystyle \begin{pmatrix}7&7\\5&5\end{pmatrix}$, $\displaystyle \begin{pmatrix}7&3\\7&3\end{pmatrix}$, $\displaystyle \begin{pmatrix}7&5\\7&5\end{pmatrix}$

그러므로 $\displaystyle n=15$이다.

한편 $\displaystyle r \in T$이면 $\displaystyle r ^{2} -r=0$이므로 $\displaystyle r ^{2} =r$이다. 그런데 모든 원소 $\displaystyle r \in A _{3}$에 대하여 $\displaystyle r ^{2} \ne r$이므로 집합 $\displaystyle T$는 공집합이고 $\displaystyle m$은 $\displaystyle 0$이다. 즉, $\displaystyle n+m=15$이다.