자연계열 2번

[1] 주어진 <그림 1> 의 $\displaystyle \triangle CHP$ 에서 $\displaystyle {\tan } \alpha$는 접선의 기울기와 같고 도함수 $\displaystyle \frac{dy }{dx}$는 접선의 기울기이다. 그런데 매개 변수 $\displaystyle t$로 나타내어진 두 변수 $\displaystyle x, y$가 나타내는 곡선 위의 접선의 기울기는 제시문의 식 (2)에 의하면 $\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{g ^{\prime}(t)}{f ^{\prime}(t)}$이므로 다음을 얻는다.

$\displaystyle \tan \alpha = \frac{g ^{\prime} (t)}{f ^{\prime} (t)}$, $\displaystyle f ^{\prime}(t) \ne 0$

[2] 문항 [1]에서 구한 방정식의 양변을 제시문의 음함수의 미분법과 합성함수의 미분법을 이용하여 매개 변수 $\displaystyle t$에 관해 미분하면 다음을 얻는다.

$\displaystyle \sec ^{2 } \alpha ~ \frac{d \alpha }{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{g ^{\prime}(t)}{f ^{\prime}(t) }\right)$

이를 정리하면 다음 식을 얻는다.

$\displaystyle \frac{d \alpha }{dt} = \frac{d}{dt} \left ( \frac{g ^{\prime} (t)}{f ^{\prime} (t)} \right ) \cos ^{2} \alpha$ ①

한편 문항 [1]에서 $\displaystyle \tan \alpha = \frac{g ^{\prime} (t)}{f ^{\prime}(t)}$이므로 우측의 <그림 2>의 삼각형을 참조하여 다음을 얻는다.

$\displaystyle \cos \alpha = \frac{f ^{\prime} (t)}{\sqrt {\left\{ f ^{\prime} (t) \right\} ^{2} + \left\{ g ^{\prime} (t) \right\} ^{2} }}$ ②

또한 몫의 미분법으로부터 다음을 얻는다.

$\displaystyle \frac{d}{dt}\left(\frac{g^{\prime}(t)}{f^{\prime}(t)}\right)=\frac{g^{\prime\prime}(t)f^{\prime}(t)-g^{\prime}(t)f^{\prime\prime}(t)}{\{f^{\prime}(t)\}^2}$ ③

이제 식 ①에 식 ②와 ③을 대입하여 다음을 얻는다.

$\displaystyle \frac{d\alpha}{dt}=\frac{g^{\prime\prime}(t)f^{\prime}(t)-g^{\prime}(t)f^{\prime\prime}(t)}{\{f^{\prime}(t)\}^2+\{g^{\prime}(t)\}^2}$ ④

[3] 제시문의 식 (3)에서 $\displaystyle s(t) = \int _{a} ^{t} {} \sqrt {\left\{ f ^{\prime} (u) \right\} ^{2} + \left\{ g ^{\prime} (u) \right\} ^{2}} du$ 이므로 다음을 얻는다.

$\displaystyle \frac{ds}{dt} = \sqrt {\left\{ f ^{\prime} (t) \right\} ^{2} + \left\{ g ^{\prime} (t) \right\} ^{2}}$ ⑤

이때 $\displaystyle f ^{\prime} (t) \ne 0$이므로 $\displaystyle \frac{ds}{dt} \ne 0$이며, 제시문의 식 (2)에 의해 매개 변수 $\displaystyle t$로 나타내어진 두 함수 $\displaystyle \alpha ,~ s$에 대하여 다음을 얻는다.

$\displaystyle \frac{d \alpha }{ds} = \frac{\frac{d \alpha }{dt}}{\frac{ds}{dt}}$ ⑥

따라서 $\displaystyle \frac{d \alpha }{dt}$에 대한 문항 [2]의 결과인 식 ④와 $\displaystyle \frac{ds}{dt}$에 관한 식 ⑤를 식 ⑥에 대입하여 다음을 얻는다.

$\displaystyle \frac{d\alpha}{ds}=\frac{g^{\prime\prime}(t)f^{\prime}(t)-g^{\prime}(t)f^{\prime\prime}(t)}{\left\{\sqrt{\{f^{\prime}(t)\}^2+\{g^{\prime}(t)\}^2}\right\}^3}$ ⑦

[4] (a) 자명하게 $\displaystyle x(t)=f(t)=t,~y(t)=g(t)=at+b, -\infty < t < \infty$는 직선의 매개 변수 함수이다.

(b) $\displaystyle f^{\prime}(t)=1\ne0$이고 $\displaystyle f^{\prime\prime}(t)=g^{\prime\prime}(t)=0$이므로 식 ⑦로부터 다음을 얻는다.

$\displaystyle \kappa =0$

(※ 매개 함수를 위의 것과 다르게 표현할 수도 있다. 그러나 $\displaystyle \kappa$는 변하지 않는다.)

[5] (a) <그림 3>을 참조하면 $\displaystyle x-p=r {\cos } t,~y-q=r {\sin }t$이므로 원은 다음의 매개 변수 $\displaystyle t$로 나타내어진 함수이다.

$\displaystyle x(t)=p+r {\cos }t,~y(t)=q+r {\sin } t,~0 \le t<2 \pi$

(b) 이제 $\displaystyle f(t)= x(t), g(t)=y(t)$라고 하면 $\displaystyle f ^{\prime} (t)=-r {\sin } t$,

$\displaystyle g^{\prime}(t)=r\cos t$, $\displaystyle f^{\prime\prime}(t)=-r\cos t$, $\displaystyle g^{\prime\prime}(t)=-r\sin t$이다.

이들을 문항 [3]에서 얻은 $\displaystyle \frac{d \alpha }{ds}$의 식 ⑦에 대입하고 항등식

$\displaystyle {\cos } ^{2} t+{\sin } ^{2} t=1$을 이용하여 다음을 얻는다.

$\displaystyle \begin{aligned}\kappa=\left|\frac{d\alpha}{ds}\right|&\equiv \frac{|g^{\prime\prime}(t)f^{\prime}(t)-g^{\prime}(t)f^{\prime\prime}(t)|}{\left\{\sqrt{\{f^{\prime}(t)\}^2+\{g^{\prime}(t)\}^2}\right\}^3}\\&=\frac{|r^2\sin^2t+r^2\cos^2t|}{\left\{\sqrt{r^2\sin^2t+r^2\cos^2t}\right\}^3}=\frac{r^2}{r^3}=\frac1r,~r>0\end{aligned}$

따라서 구하는 답은 다음과 같다.

$\displaystyle \kappa = \frac{1}{r},~ r >0$

(※ 매개 함수를 위의 것과 다르게 표현할 수도 있다. 그러나 $\displaystyle \kappa$는 변하지 않는다.)