자연계열 1번

광운대 2016학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/kw/2016mo/jayeon_1

[문제 1] 다음 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오. (50점)

1. 모든 정수들의 집합과 모든 실수들의 집합을 각각 $\displaystyle \mathbb{Z}$ 와 $\displaystyle \mathbb{R}$ 로 나타낸다. 또한 집합 $\displaystyle X$ 와 $\displaystyle Y$ 는 $\displaystyle \mathbb{R}$ 의 부분집합이다.

2. 집합 $\displaystyle M_{2} (X)$ 는 크기가 $\displaystyle 2 \times 2$ 이고 모든 성분이 집합 $\displaystyle X$ 의 원소인 행렬 전체의 집합이다. 또한 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 집합 $\displaystyle S_n (X)$ 와 $\displaystyle T_{2} (X)$ 를 다음과 같이 정의한다.

$\displaystyle S_n (X) = \left\{ A \in M_{2} (X) | A^n = O \right\} ~~$ (단, $\displaystyle O$ 는 크기가 $\displaystyle 2 \times 2$ 인 영행렬이다.)

$\displaystyle T_2(X)=\{A\in M_2(X)\mid A\text{는 역행렬을 갖는다}\}$

3. 행렬 $\displaystyle A= \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12} \\ a_{21}& a_{22}\end{pmatrix}~\in M_{2} (\mathbb{R})$ 에 대하여 $\displaystyle \det (A) = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21}$ 이다.

4. 두 행렬 $\displaystyle A,~B \in M_{2} (\mathbb{R})$ 에 대하여 $\displaystyle \det (AB) = \det(A) \det (B)$ 이다.

5. 함수 $\displaystyle f: ~X\to X$ 와 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle f^{(n)}$ 은 $\displaystyle f$ 를 $\displaystyle n$ 번 합성한 함수이다. 즉, 원소 $\displaystyle x \in X$ 에 대하여 $\displaystyle f^{(n)} (x) = (f \circ f \circ \cdots \circ f )(x)$ 이다.

6. 함수 $\displaystyle f: ~X\to Y$ 에 대하여 (성질 $\displaystyle P$ )를 다음과 같이 정의한다.

모든 $\displaystyle x_{1} , x_{2} \in X$ 에 대하여 $\displaystyle f( x_{1} + x_{2} ) = f( x_{1} ) f (x_{2} )$ 이다.

[1] 교집합 $\displaystyle S_{2015} (\mathbb{R}) \cap T_{2} (\mathbb{R})$ 를 구하고 이를 설명하시오. (5점)

[2] $\displaystyle A= \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12} \\ a_{21}& a_{22}\end{pmatrix}~\in S_{2015} (\mathbb{R})$ 일 때 $\displaystyle a_{11} + a_{22}$ 의 값을 구하시오. (12점)

[3] 문항 [2]를 이용하여 집합 $\displaystyle G = \left\{ A \in S_{2015} (\mathbb{R}) |~(A^{2} + E)(A+E) =E \right\}$ 를 구하고 이를 설명하시오. (단 $\displaystyle E$ 는 크기가 $\displaystyle 2 \times2$ 인 단위행렬이다.) (8점)

[4] 임의의 실수 $\displaystyle a$ 에 대하여 $\displaystyle \begin{pmatrix} a&b \\ c & d\end{pmatrix} \in S_{2015} (\mathbb{R})$ 인 실수 $\displaystyle b,c,d$ 가 존재한다. 함수 $\displaystyle f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ 를 $\displaystyle f(a)=d$ 로 정의할 때 극한값 $\displaystyle \lim _{ x\to \infty } { \frac{ 1}{\left\{ f^{(n)} (x) \right\}^{2} } }$ 을 구하고 이를 설명하시오. (9점)

[5] $\displaystyle f(0) \ne 0,~f(1)>1$ 인 함수 $\displaystyle f: \mathbb{Z}\to \mathbb{R}$ 가 (성질 $\displaystyle P$ )를 만족시킬 때 다음 명제를 증명하시오.

(1) $\displaystyle n,m \in \mathbb{Z}$ 에 대하여 $\displaystyle m<n$ 이면 $\displaystyle f(m) < f(n)$ 이다. (11점)

(2) 함수 $\displaystyle g:~M_{2} (\mathbb{Z}) \to M_{2} (\mathbb{R} )$ 를 $\displaystyle g \begin{pmatrix} a_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} f(a_{11} a_{22} )& f(a_{12} a_{21} )\\ f(1) &f(1) \end{pmatrix}$ 로 정의하면 $\displaystyle g(T_{2} (\mathbb{Z})) \subset T_{2} (\mathbb{R})$ 이다. (5점)

해설강의 준비중

광운대 2016학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/kw/2016mo/jayeon_1

+3점

[1] $\displaystyle A \in S_{2015} (\mathbb{R})$ 이면 $\displaystyle A^{2015} = O$ 이고 $\displaystyle \det (A^{2015} ) = \det (O)$ 이다.

그런데 $\displaystyle \det (A^{2015} ) = \left\{ \det (A) \right\}^{2015}$ 이고 $\displaystyle \det (O)=0$ 이므로 $\displaystyle \det (A)=0$ 이다.

+2점

따라서 $\displaystyle A$ 는 역행렬을 갖지 않으므로 $\displaystyle A \notin T_{2} (\mathbb{R})$ 이다.

그러므로 $\displaystyle S_{2015} (\mathbb{R}) \cap T_{2} (\mathbb{R}) = \varnothing$ 이다.

+5점

[2] $\displaystyle A^{2} - (a_{11} + a_{22} ) A + ( a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} ) E = O$ 이고

+2점

[1]에서 $\displaystyle \det (A) = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} = 0$ 이므로 $\displaystyle A^{2} = (a_{11} + a_{22} ) A$ 이다.

+2점

따라서 $\displaystyle A^{2015} = ( a_{11} + a_{22} ) ^{2014} A$ 이고 $\displaystyle A \in S_{2015} (\mathbb{R})$ 이므로 $\displaystyle (a_{11} + a_{22} )^{2014} A = O$ 이다.

+3점

그러므로 $\displaystyle a_{11} + a_{22} = 0$ 또는 $\displaystyle A=O$ 이다. 그런데 $\displaystyle A=O$ 이면 $\displaystyle a_{11} + a_{22} = 0$ 이므로 모든 행렬 $\displaystyle A \in S_{2015} (\mathbb{R})$ 에 대하여 $\displaystyle a_{11} + a_{22} = 0$ 이다.

+3점

[3] $\displaystyle A \in G$ 이면 $\displaystyle A \in S_{2015} (\mathbb{R})$ 이므로 [2]의 결과를 이용하면 $\displaystyle A^{2} = (a_{11} + a_{22} ) A=O$ 이다.

+3점

따라서 $\displaystyle (A^{2} + E) (A+E) = A+E$ 이고 $\displaystyle A \in G$ 이면 $\displaystyle (A^{2} + E) (A+E) = E$ 이므로

$\displaystyle A+E =E$ 이 되어 $\displaystyle A=O$ 이다.

+2점

그러므로 $\displaystyle G = \left\{ O \right\}$ 이다.

+3점

[4] $\displaystyle \begin{pmatrix} a&b \\ c & d\end{pmatrix} \in S_{2015} (\mathbb{R})$ 이면 [2]의 결과에 의하여 $\displaystyle d=-a$ 이므로 $\displaystyle f(a) = -a$ 이다.

+2점

이때 $\displaystyle a$ 는 임의의 실수이므로 모든 $\displaystyle x \in \mathbb{R}$ 에 대하여 $\displaystyle f(x)=-x$ 이다.

+2점

그러므로 $\displaystyle f^{(n)} (x) = (-1 )^n x$ 이다.

+2점

따라서 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac1{\{f^{(n)}(x)\}^2}=\lim_{x\to\infty}\frac1{x^2}=0$ 이다.

+3점

[5] (1) $\displaystyle f(0)=f(0+0) = \left\{ f(0) \right\}^{2}$ 이므로 $\displaystyle f(0) \left\{f(0) -1 \right\} =0$ 이다. 그런데 $\displaystyle f(0) \ne 0$ 이므로 $\displaystyle f(0)=1$ 이다.

+2점

또한 임의의 자연수 $\displaystyle n$ 에 대하여 $\displaystyle f(n) = f(1+1+ \cdots +1) = \left\{ f(1) \right\} ^n$ 이고

+3점

$\displaystyle 1=f(0)=f(n+(-n))=f(n)f(-n)$ 이므로 $\displaystyle f(-n)=\frac1{f(n)}=\frac1{\{f(1)\}^n}=\{f(1)\}^{-n}$ 이다. 따라서 모든 $\displaystyle n\in\mathbb{Z}$ 에 대하여 $\displaystyle f(n)=\{f(1)\}^n$ 이다.

+3점

그런데 $\displaystyle m<n$ 이면 $\displaystyle f(0)=1 ,~f(1)>1$ 이므로 $\displaystyle f(n) - f(m) = \left\{ f(1) \right\}^n - \left\{ f(1) \right\}^m >0$ 이다. 즉, $\displaystyle f(m) < f(n)$ 이다.

+3점

(2) $\displaystyle A= \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12} \\ a_{21}& a_{22}\end{pmatrix}~\in T_{2} (\mathbb{Z})$ 이라면 $\displaystyle \det (A) = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} \ne 0$ 이므로

$\displaystyle \det (g(A)) = f(a_{11} a_{22} ) f(1) - f(a_{12} a_{21} ) f(1) = f(1)^{a_{11} a_{22}}f(1) - f(1)^{a_{12} a_{21}} f(1)$ 이다.

+2점

그런데 $\displaystyle f(1)>1$ 이고 $\displaystyle a_{11} a_{22} \ne a_{12} a_{21}$ 이므로 $\displaystyle \det (g(A)) \ne 0$ 이 되어 $\displaystyle g(A)$ 의 역행렬이 존재한다. 따라서 $\displaystyle g(A) \in T_{2} (\mathbb{R})$ 이다. 그러므로 포함관계 $\displaystyle g(T_{2} (\mathbb{Z})) \subset T_{2} (\mathbb{R})$ 가 성립한다.

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