자연계열 1번

[1] $\displaystyle A \in S_{2015} (\mathbb{R})$이면 $\displaystyle A^{2015} = O$이고 $\displaystyle \det (A^{2015} ) = \det (O)$이다.

그런데 $\displaystyle \det (A^{2015} ) = \left\{ \det (A) \right\}^{2015}$이고 $\displaystyle \det (O)=0$이므로 $\displaystyle \det (A)=0$이다.

따라서 $\displaystyle A$는 역행렬을 갖지 않으므로 $\displaystyle A \notin T_{2} (\mathbb{R})$이다.

그러므로 $\displaystyle S_{2015} (\mathbb{R}) \cap T_{2} (\mathbb{R}) = \varnothing$이다.

[2] $\displaystyle A^{2} - (a_{11} + a_{22} ) A + ( a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} ) E = O$이고

[1]에서 $\displaystyle \det (A) = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} = 0$이므로 $\displaystyle A^{2} = (a_{11} + a_{22} ) A$이다.

따라서 $\displaystyle A^{2015} = ( a_{11} + a_{22} ) ^{2014} A$이고 $\displaystyle A \in S_{2015} (\mathbb{R})$이므로 $\displaystyle (a_{11} + a_{22} )^{2014} A = O$이다.

그러므로 $\displaystyle a_{11} + a_{22} = 0$또는 $\displaystyle A=O$이다. 그런데 $\displaystyle A=O$이면 $\displaystyle a_{11} + a_{22} = 0$이므로 모든 행렬 $\displaystyle A \in S_{2015} (\mathbb{R})$에 대하여 $\displaystyle a_{11} + a_{22} = 0$이다.

[3] $\displaystyle A \in G$이면 $\displaystyle A \in S_{2015} (\mathbb{R})$이므로 [2]의 결과를 이용하면 $\displaystyle A^{2} = (a_{11} + a_{22} ) A=O$이다.

따라서 $\displaystyle (A^{2} + E) (A+E) = A+E$이고 $\displaystyle A \in G$이면 $\displaystyle (A^{2} + E) (A+E) = E$이므로

$\displaystyle A+E =E$이 되어 $\displaystyle A=O$이다.

그러므로 $\displaystyle G = \left\{ O \right\}$이다.

[4] $\displaystyle \begin{pmatrix} a&b \\ c & d\end{pmatrix} \in S_{2015} (\mathbb{R})$이면 [2]의 결과에 의하여 $\displaystyle d=-a$이므로 $\displaystyle f(a) = -a$이다.

이때 $\displaystyle a$는 임의의 실수이므로 모든 $\displaystyle x \in \mathbb{R}$에 대하여 $\displaystyle f(x)=-x$이다.

그러므로 $\displaystyle f^{(n)} (x) = (-1 )^n x$이다.

따라서 $\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac1{\{f^{(n)}(x)\}^2}=\lim_{x\to\infty}\frac1{x^2}=0$이다.

[5] (1) $\displaystyle f(0)=f(0+0) = \left\{ f(0) \right\}^{2}$이므로 $\displaystyle f(0) \left\{f(0) -1 \right\} =0$이다. 그런데 $\displaystyle f(0) \ne 0$이므로 $\displaystyle f(0)=1$이다.

또한 임의의 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle f(n) = f(1+1+ \cdots +1) = \left\{ f(1) \right\} ^n$이고

$\displaystyle 1=f(0)=f(n+(-n))=f(n)f(-n)$이므로 $\displaystyle f(-n)=\frac1{f(n)}=\frac1{\{f(1)\}^n}=\{f(1)\}^{-n}$이다. 따라서 모든 $\displaystyle n\in\mathbb{Z}$에 대하여 $\displaystyle f(n)=\{f(1)\}^n$이다.

그런데 $\displaystyle m<n$이면 $\displaystyle f(0)=1 ,~f(1)>1$이므로 $\displaystyle f(n) - f(m) = \left\{ f(1) \right\}^n - \left\{ f(1) \right\}^m >0$이다. 즉, $\displaystyle f(m) < f(n)$이다.

(2) $\displaystyle A= \begin{pmatrix} a_{11}&a_{12} \\ a_{21}& a_{22}\end{pmatrix}~\in T_{2} (\mathbb{Z})$이라면 $\displaystyle \det (A) = a_{11} a_{22} - a_{12} a_{21} \ne 0$이므로

$\displaystyle \det (g(A)) = f(a_{11} a_{22} ) f(1) - f(a_{12} a_{21} ) f(1) = f(1)^{a_{11} a_{22}}f(1) - f(1)^{a_{12} a_{21}} f(1)$이다.

그런데 $\displaystyle f(1)>1$이고 $\displaystyle a_{11} a_{22} \ne a_{12} a_{21}$이므로 $\displaystyle \det (g(A)) \ne 0$이 되어 $\displaystyle g(A)$의 역행렬이 존재한다. 따라서 $\displaystyle g(A) \in T_{2} (\mathbb{R})$이다. 그러므로 포함관계 $\displaystyle g(T_{2} (\mathbb{Z})) \subset T_{2} (\mathbb{R})$가 성립한다.