자연계열 2번

[1] 주어진 구간 $\displaystyle [0,1]$을 $\displaystyle n$등분하면 $\displaystyle \Delta x=\frac1n,~x_k=0+k\Delta x=\frac{k}{n},~k=1,2,\ldots,n$이고 $\displaystyle f(x)=e^x$라고 하면

$\displaystyle f(x_k)=e^{x_k}=e^{k/n}=\{e^{1/n}\}^k,~k=1,2,\ldots,n$

여기서 정적분의 정의와 무한등비급수의 부분합을 이용하여 다음을 얻는다.

$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^1 e^x dx&=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n f(x_k)\Delta x=\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\{e^{1/n}\}^k\\&=\lim_{n\to\infty}\left\{(e^{1/n}+e^{2/n}+\cdots+e^{k/n}+\cdots+e^{n/n})\left(\frac1n\right)\right\}\\&=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{e^{1+1/n}-e^{1/n}}{e^{1/n}-1}\right)\left(\frac1n\right)\end{aligned}$

$\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\left\{e^{1/n}\cdot(e-1)\cdot\left(\frac{1/n}{e^{1/n}-1}\right)\right\}$

한편 $\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f^{\prime}(0)=e^0=1$이므로 다음을 얻는다.

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1/n}{e^{1/n}-1}=\lim_{n\to\infty}\frac1{\frac{e^{1/n}-1}{1/n}}=\lim_{n\to\infty}\frac1{\frac{f(1/n)-f(0)}{1/n-0}}=1$

또 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}e^{1/n}=1$이므로 극한의 성질에 의해 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left\{e^{1/n}\cdot(e-1)\cdot\left(\frac{1/n}{e^{1/n}-1}\right)\right\}=e-1$이다.그러므로 $\displaystyle \int_0^1 e^x dx=e-1$이다.

[2] 주어진 식을 다음과 같이 변형할 수 있다.

$\displaystyle \begin{aligned}\lim_{n\to\infty}\left(\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{n+n}\right)&=\lim_{n\to\infty}\frac1n\left(\frac1{2+\frac1n}+\frac1{2+\frac2n}+\cdots+\frac1{2+\frac{k}{n}}+\cdots+\frac1{2+\frac{n}{n}}\right)\\&=\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\left(\frac1{2+\frac{k}{n}}\right)\end{aligned}$

구간을 $\displaystyle [0,1],~\Delta x=\frac1n,~x_k=0+k\cdot\frac1n,~k=1,2,\ldots,n$이라 하자. 제시문의 [정적분의 정의]에 따르면 구하는 함수는 $\displaystyle h(x)=\frac1{2+x}$이다.

따라서 함수 $\displaystyle h(x)$의 정적분 $\displaystyle \int_0^1 h(x)dx$를 이용하면 구하는 극한값은 다음과 같이 $\displaystyle \ln\frac32$이다.

$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\left(\frac1{2n+1}+\frac1{2n+2}+\cdots+\frac1{2n+n}\right)=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n h(x_k)\Delta x=\int_0^1\frac1{2+x}dx=\left.\ln(2+x)\right]_0^1=\ln\frac32$

[3] 구간 $\displaystyle [a,b]$에서 명백히 다음이 성립한다.

$\displaystyle -|f(x)| \le f(x) \le |f(x) |,~ x \in [a,b]$

제시문의 [정적분의 성질1]과 [정적분과 부등식]을 이용하여 다음을 얻는다.

$\displaystyle -\int_a^b|f(x)|dx\le\int_a^b f(x)dx\le\int_a^b|f(x)|dx$

따라서 다음을 얻는다.

$\displaystyle \left|\int_a^b f(x)dx\right|\le\int_a^b|f(x)|dx$

[4] (1) $\displaystyle x=a$이면 자명하다. 만일 $\displaystyle x \in (a,b]$라면 구간 $\displaystyle [a,x]$에 대하여 제시문의 [평균값의 정리]를 적용하면 다음 식을 만족시키는 점 $\displaystyle c$가 $\displaystyle a$와 $\displaystyle x$ 사이에 적어도 하나 존재한다.

$\displaystyle f(x) - f( a) = f^{\prime}(c) (x-a)$

이 때 $\displaystyle T$가 구간 $\displaystyle [a,b]$에서 $\displaystyle |f^{\prime}(x)|$의 최댓값이므로 다음이 성립한다.

$\displaystyle |f(x) - f( a) |=| f^{\prime}(c) (x-a) | \le T (x-a) , ~~ x \in [a,b]$

(2) $\displaystyle (b-a)f(a)=\int_a^b f(a)dx$이므로 $\displaystyle \left|\int_a^b f(x)dx-(b-a)f(a)\right|=\left|\int_a^b\{f(x)-f(a)\}dx\right|$이다.

이제 문항 [3]의 부등식 ①, 제시문의 [정적분과 부등식] 과 (1)의 부등식으로부터 다음을 얻는다.

$\displaystyle \left|\int_a^b f(x)dx-(b-a)f(a)\right|=\left|\int_a^b\{f(x)-f(a)\}dx\right|\le\int_a^b|f(x)-f(a)|dx\le\int_a^b T(x-a)dx=\frac{T}{2}(b-a)^2$

[5] (1) 구간 $\displaystyle [c,d]$를 $\displaystyle N$등분하면 $\displaystyle \int_c^d g(x)dx=\sum_{k=1}^N\int_{x_{k-1}}^{x_k}g(x)dx$이 성립하므로 부등식 ④의 왼쪽 항의 절댓값 기호 안을 다음과 같이 쓸 수 있다.

$\displaystyle \int_c^d g(x)dx-w\sum_{k=1}^N g(x_{k-1})=\sum_{k=1}^N\left\{\int_{x_{k-1}}^{x_k}g(x)dx-wg(x_{k-1})\right\}$

이제 $\displaystyle M_k$를 소구간 $\displaystyle [x_{k-1},x_k]$에서 $\displaystyle |g^{\prime}(x)|$의 최댓값이라 하고 문항 [4]의 식 ②를 적용하고, $\displaystyle M$이 구간 $\displaystyle [c,d]$에서 $\displaystyle |g^{\prime}(x)|$의 최댓값임을 이용하면 다음을 얻는다.

$\displaystyle \left|\int_{x_{k-1}}^{x_k}g(x)dx-wg(x_{k-1})\right|\le\frac{M_k}{2}w^2\le\frac{M}{2}w^2,~k=1,2,\ldots,N$

이를 제시문의 [실수의 삼각부등식]과 결합하고, $\displaystyle w=\frac{d-c}{N}$임을 이용하여 다음을 얻는다.

$\displaystyle \begin{aligned}\left|\int_c^d g(x)dx-w\sum_{k=1}^N g(x_{k-1})\right|&=\left|\sum_{k=1}^N\left\{\int_{x_{k-1}}^{x_k}g(x)dx-wg(x_{k-1})\right\}\right|\\&\le\sum_{k=1}^N\left|\int_{x_{k-1}}^{x_k}g(x)dx-wg(x_{k-1})\right|\end{aligned}$

$\displaystyle \le\sum_{k=1}^N\frac{M}{2}w^2=N\cdot\frac{M}{2}\left(\frac{d-c}{N}\right)^2=\frac{M}{2N}(d-c)^2$

(2) 문항 [2]에서 구한 함수는 $\displaystyle h(x)=\frac1{2+x}$이다. 따라서 식 ③을 이용하여 정적분 $\displaystyle \int_0^1\frac1{2+x}dx=\ln\frac32$의 근삿값을 구한다면, $\displaystyle c=0,d=1$이고, 또 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{-1}{(2+x)^2}$에서 $\displaystyle M=\frac14$이다.

식 ④에 의한 오차한계가 $\displaystyle \frac{1}{200}$이하가 되게 하는 $\displaystyle N$의 최솟값은 다음 식에서 보인 것과 같이 25이다.

$\displaystyle \frac{M}{2N}(d-c)^2=\frac1{8N}(1-0)^2\le\frac1{200}\quad\Longrightarrow\quad N\ge25$