자연계열 1번

[1] $\displaystyle f(a) f(b)-f(a) -f(b) +1=2$이므로 $\displaystyle (f(a)-1)(f(b)-1)=2$이다. 그런데 $\displaystyle f(a) \ge 0$이고 $\displaystyle f(b) \ge 0$이므로 다음과 같은 두 가지 경우가 성립한다.

(1) $\displaystyle f(a)=2$이고 $\displaystyle f(b)= 3$.

(2) $\displaystyle f(a)= 3$이고 $\displaystyle f(b)= 2$.

조건에서 $\displaystyle f(a) >f(b)$이므로 $\displaystyle f(a)=3$이고 $\displaystyle f(b)=2$이다.

따라서 $\displaystyle a=12s +3$, $\displaystyle b= 12t +2$인 $\displaystyle s$, $\displaystyle t$가 존재한다. 그런데

$\displaystyle 2a+b^{2} =2(12s+3)+(12t +2)^{2} = 12(2s +12t^{2} +4t )+10$

이므로 $\displaystyle f(2a+b^{2} )=10$이다.

[2]

(1) $\displaystyle a+b \sqrt 3+ c \sqrt 7 =0$이므로 $\displaystyle a^{2} =(b \sqrt 3 +c \sqrt 7 )^{2} = 3b^{2} +7c^{2} +2bc \sqrt{21}$이다. 따라서

$\displaystyle a^{2} -3b^{2} -7c^{2} -2bc \sqrt{21} = 0$이므로 $\displaystyle a^{2} -3b^{2} -7c^{2} =0$이고 $\displaystyle 2bc =0$이다.

$\displaystyle bc=0$이므로 $\displaystyle b=0$ 또는 $\displaystyle c=0$이다. 만일 $\displaystyle b=0$이면 $\displaystyle a+ c \sqrt 7 =0$이므로 $\displaystyle a=0$이고 $\displaystyle c=0$이다. 만일 $\displaystyle c=0$이면 $\displaystyle a+ b \sqrt 3 =0$이므로 $\displaystyle a=0$이고 $\displaystyle b=0$이다. 그러므로 $\displaystyle a+b+c= 0$이다.

(2) $\displaystyle a \in A$, $\displaystyle a \ne 0$이라면 $\displaystyle a-a \in A$이므로 $\displaystyle 0 \in A$이다. 또한 $\displaystyle 0-a \in A$이므로 $\displaystyle -a \in A$이다.

$\displaystyle a-(-a)\in A$이므로 $\displaystyle 2a \in A$이다. 이와 같은 방법으로 모든 $\displaystyle n \in \mathbb{N}$에 대하여 $\displaystyle na \in A$이므로 집합 $\displaystyle A$는 무한집합이다.

그런데 $\displaystyle A$는 $\displaystyle X$의 부분집합이므로 모순이 되어 $\displaystyle a \ne 0$이면 $\displaystyle a \notin A$이다. 만일 $\displaystyle A= \left\{0 \right\}$이면 명제 ‘$\displaystyle a,~b \in A \to a-b \in A$.’가 참이므로 $\displaystyle A= \left\{0 \right\}$이다.

[3]

(1) $\displaystyle f(x)$의 판별식은 $\displaystyle 16+ 128 =144>0$이다. 또한 $\displaystyle g(x)$의 판별식은

$\displaystyle 4a^{2} -4a+8=4 \left ( a- \frac{1}{2} \right )^{2} +7 >0$이다. 따라서 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프와 $\displaystyle y=g(x)$의 그래프는 모두 $\displaystyle x$축과 서로 다른 두 점에서 만난다.

(2) $\displaystyle f(x)=0$을 만족시키는 $\displaystyle x$값은 $\displaystyle -4,~8$

이고 $\displaystyle g(x)=0$을 만족시키는 $\displaystyle x$값은

$\displaystyle a-\sqrt{a^2-a+2}$, $\displaystyle a+\sqrt{a^2-a+2}$이다.

그런데, $\displaystyle 1\le a<2$이므로 $\displaystyle -4<a-\sqrt{a^2-a+2}<a+\sqrt{a^2-a+2}<8$이다. 또한, $\displaystyle f(x)$와 $\displaystyle g(x)$의 이차항의 계수가 양수이고 $\displaystyle f(0)<0$, $\displaystyle g(0)<0$이므로 조건 $\displaystyle p:f(x)g(x)\le0$의 진리집합에 속하는 모든 구간은 $\displaystyle [-4,a-\sqrt{a^2-a+2}]\cup[a+\sqrt{a^2-a+2},8]$이다. 그러므로

$\displaystyle L=8-(a+\sqrt{a^2-a+2})+(a-\sqrt{a^2-a+2})-(-4)=12-2\sqrt{a^2-a+2}$이다.