자연계열 2번

[1]

(1) $\displaystyle F(1)= \int _{0}^{1} (t^{3} +4t+1-\sin (t^{3} ))dt$,

$\displaystyle F(-1)= - \int _{-1}^{0} (t^{3} +4t +1 - \sin (t^{3} ))dt$

세 함수 $\displaystyle t^{3}$, $\displaystyle 4t$, $\displaystyle \sin (t^{3} )$의 그래프는 모두 원점에 대칭이므로 다음이 성립한다.

$\displaystyle F(1) -F(-1)= \int _{-1} ^{1} (t^{3} +4t +1 -\sin (t^{3} ))dt = 2 \int _{0}^{1} 1 dt =2$

(2) 제시문 7에 의하여 $\displaystyle 0 \le t \le 1$이면 $\displaystyle -t \le \sin t \le t$이므로 $\displaystyle -t^{3} \le - \sin (t^{3} )\le t^{3}$이다. 따라서 제시문 8에 의하여 다음이 성립한다.

$\displaystyle 3= \int _{0}^{1} (4t+1) dt \le F(1) \le \int _{0}^{1} (2t^{3} +4t+1)dt =3.5$

(3) $\displaystyle F(0)=0$이고 [1]-(2)에 의하여 $\displaystyle F(1) \ge 3$이므로 다음이 성립한다.

$\displaystyle F(0) <2.99 <F(1)$

그러므로 사이값정리에 의하여 방정식 $\displaystyle F(x)= 2.99$의 근이 $\displaystyle 0$과 $\displaystyle 1$ 사이에 적어도 한 개 존재한다.

[2]

(1) $\displaystyle F^{\prime}(x)=x^{3} +4x+1 -\sin (x^{3} )$이다. $\displaystyle x>0$, $\displaystyle 1- \sin (x^{6} ) \ge 0$이므로 합성함수의 미분법에 의하여 다음이 성립한다.

$\displaystyle G^{\prime}(x)= 2x F^{\prime}(x^{2} )=2x (x^{6} +4x^{2} +1 -\sin (x^{6} ))>0$

따라서 함수 $\displaystyle G(x)$는 구간 $\displaystyle (0,~\infty )$에서 증가한다.

(2) $\displaystyle x<0$이면 $\displaystyle G^{\prime}(x)<0$이고 $\displaystyle x>0$이면 $\displaystyle G^{\prime}(x) >0$이므로 함수 $\displaystyle G(x)$는 $\displaystyle x=0$에서 극솟값 $\displaystyle G(0)=F(0)-1= -1$을 갖는다.

(3) 구간 $\displaystyle (- \infty ,~ \infty )$에서

$\displaystyle G^{\prime\prime}(x) =2F^{\prime}(x^{2} )+4x^{2} F^{\prime\prime}(x^{2} )=2(x^{6} +4x^{2} +1 -\sin (x^{6} ))+4x^{2} (4 + 3x^{4} (1- \cos (x^{6} )))>0$

이다.

따라서 곡선 $\displaystyle y=G(x)$은 구간 $\displaystyle (-\infty ,~ \infty )$에서 아래로 볼록(위로 오목)이다.