자연계열 1번

[1] $\displaystyle g(n)=f(n-k)= \sqrt {n-k+2} + \sqrt {n-k+1}$이다. 그런데

$\displaystyle \frac{2}{g(n)} = \frac{2}{\sqrt {n-k+2} + \sqrt {n-k+1}} = \frac{2( \sqrt {n-k+2} - \sqrt {n-k+1} )}{( \sqrt {n-k+2} + \sqrt {n-k+1} )( \sqrt {n-k+2} - \sqrt {n-k+1} )}$$\displaystyle =2( \sqrt {n-k+2} - \sqrt {n-k+1} )$이므로

$\displaystyle \sum _{n=1} ^{2018} \frac{2}{g(n)} = \sum _{n=1} ^{2018} 2( \sqrt {n-k+2} - \sqrt {n-k+1} ) =2( \sqrt {2020-k} - \sqrt {2-k} )$이다.

[2] (1) $\displaystyle (f \circ f)(x)=1- \frac{1}{x}$, $\displaystyle (f \circ f \circ f)(x)=x$, $\displaystyle (f \circ f \circ f \circ f)(x)=f(x)$, $\displaystyle \cdots$ 이므로 $\displaystyle g(x)=x$이다. 따라서 $\displaystyle \lim _{x \to 3} { \frac{f(x)}{g(x)} = } \lim _{x \to 3} { \frac{\frac{1}{1-x}}{x} = } \lim _{x \to 3} { \frac{1}{x(1-x)} = - \frac{1}{6}}$이다.

(2) $\displaystyle n=3t$ 또는 $\displaystyle n=3t+1$ 또는 $\displaystyle n=3t+2$인 정수 $\displaystyle t$가 존재한다. 만일 $\displaystyle n=3t$이면 $\displaystyle h(x)=x$이다. 만일 $\displaystyle n=3t+1$이면 $\displaystyle h(x)= \frac{1}{1-x}$이다. 따라서, $\displaystyle n=3t+2$인 정수 $\displaystyle t$가 존재한다.

[3] $\displaystyle f(w)=q(w)g(w)=0$이고 $\displaystyle w ^{3} =1$이므로 $\displaystyle f(w)=aw ^{52} +bw ^{27} +1=aw+b+1=0$이다. 그런데 $\displaystyle w= \frac{-1+ \sqrt {3} i}{2}$ 또는 $\displaystyle w= \frac{-1- \sqrt {3} i}{2}$이고 $\displaystyle a$와 $\displaystyle b$는 실수이므로 $\displaystyle a=0$이고 $\displaystyle b= -1$이다.

[4] $\displaystyle [ f(x) ]=[x ^{2} -2x]-3, [ g(x) ]=[x ^{2} -2x]-5$이므로 $\displaystyle 2[x ^{2} -2x]-5=[x ^{2} -2x]-6$이다. 따라서 $\displaystyle [x ^{2} -2x]= -1$이고 $\displaystyle -1 \le [x ^{2} -2x]<0$이다. 부등식 $\displaystyle -1 \le [x ^{2} -2x]$로부터 $\displaystyle [x ^{2} -2x+1] \ge 0$이다. 그런데 모든 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle x ^{2} -2x+1 \ge 0$이므로, 부등식 $\displaystyle -1 \le [x ^{2} -2x]$은 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 성립한다. 또한 $\displaystyle [x ^{2} -2x]<0$으로부터 $\displaystyle x ^{2} -2x<0$이고 $\displaystyle x(x-2)<0$이므로 $\displaystyle 0<x<2$이다. 그러므로 주어진 방정식을 만족시키는 정수 $\displaystyle x$는 $\displaystyle x=1$이다.