수리논술, 이게 다다.

자연계열 1번

오류 제보

광운대 2019학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/kw/2019mo/jayeon_1

배점50점
예상 소요 시간미공개
다음 문제

문제

[문제 1] (50점) 다음 제시문을 읽고 문항별로 풀이와 함께 답하시오.

1. 실수 a\displaystyle a에 대하여 [a]\displaystyle [a]는 a\displaystyle a를 넘지 않는 최대의 정수이다.

2. 이차방정식 ax2+bx+c=0\displaystyle ax ^{2} +bx+c=0의 근은 x=−b±b2−4ac2a\displaystyle x= \frac{-b± \sqrt {b ^{2} -4ac}}{2a} 이다.

3. 다항식 A\displaystyle A를 다항식 B\displaystyle B로 나누었을 때의 몫을 Q\displaystyle Q, 나머지를 R\displaystyle R라고 하면 A=BQ+R\displaystyle A=BQ+R(단, R\displaystyle R의 차수는 B\displaystyle B의 차수보다 낮다.) 특히, R=0\displaystyle R=0, 즉, A=BQ\displaystyle A=BQ일 때, A\displaystyle A는 B\displaystyle B로 나누어떨어진다고 한다.

4. 세 집합 X,W,Y\displaystyle X, W, Y에 대하여 두 함수 f:X→W,g:W→Y\displaystyle f:X \to W, g:W \to Y의 합성함수 g∘f\displaystyle g \circ f는 g∘f:X→Y,(g∘f)(x)=g(f(x))\displaystyle g \circ f:X \to Y, (g \circ f)(x)=g(f(x))이다.

5. 집합 X\displaystyle X와 함수 f:X→X\displaystyle f:X \to X에 대하여 f∘f\displaystyle f \circ f는 f\displaystyle f를 두 번 합성한 함수, f∘f∘f\displaystyle f \circ f \circ f는 f\displaystyle f를 세 번 합성한 함수를 나타낸다.

[1] 모든 자연수에서 정의된 함수 f(n)=n+2+n+1\displaystyle f(n)= \sqrt {n+2} + \sqrt {n+1}의 그래프를 x\displaystyle x축의 방향으로 음의 정수 k\displaystyle k만큼 평행이동시켰을때 얻는 함수를 g(n)\displaystyle g(n)이라 하자. 이때 ∑n=120182g(n)\displaystyle \sum _{n=1} ^{2018} \frac{2}{g(n)}를 구하시오. [10점]

[2] 함수 f(x)=11−x\displaystyle f(x)= \frac{1}{1-x}에 대하여 다음 물음에 답하시오.

(1) k\displaystyle k가 자연수일 때 f\displaystyle f를 3k\displaystyle 3k번 합성한 함수를 g(x)\displaystyle g(x)라고 하자. 이때 lim⁡x→3f(x)g(x)\displaystyle \lim _{x \to 3} { \frac{f(x)}{g(x)}}를 구하시오. [9점]

(2) n\displaystyle n이 자연수일 때 f\displaystyle f를 n\displaystyle n번 합성한 함수를 h(x)\displaystyle h(x)라고 할 때 h(x)=1−1x\displaystyle h(x)=1- \frac{1}{x}이면 n=3t+2\displaystyle n=3t+2인 정수 t\displaystyle t가 존재함을 설명하시오. [7점]

[3] 다항식 g(x)=x2+x+1\displaystyle g(x)=x ^{2} +x+1에 대하여 g(x)=0\displaystyle g(x)=0의 하나의 허근을 w\displaystyle w라고 하자. 다항식 f(x)=ax52+bx27+1\displaystyle f(x)=ax ^{52} +bx ^{27} +1가 g(x)\displaystyle g(x)로 나누어떨어진다고 가정할 때, 즉, f(x)=q(x)g(x)\displaystyle f(x)=q(x)g(x)인 다항식 q(x)\displaystyle q(x)가 존재할 때, 실수 a\displaystyle a와 b\displaystyle b를 구하시오. [10점]

[4] 두 다항식 f(x)=x2−2x−3,g(x)=x2−2x−5\displaystyle f(x)=x ^{2} -2x-3, g(x)=x ^{2} -2x-5에 대하여 방정식

2[f(x)]+1=[g(x)]−1\displaystyle 2[ f(x) ]+1=[ g(x) ]-1

을 만족시키는 정수 x\displaystyle x를 모두 구하시오. [14점]

해설강의 준비중

수열의 합

관련 개념강의 준비중

광운대 2019학년도 모의 자연계열 1번 · mathesis.kr/archive/kw/2019mo/jayeon_1

+3점 · g(n)=n−k+2+n−k+1\displaystyle g(n)= \sqrt {n-k+2} + \sqrt {n-k+1}을 구했으면

[1] g(n)=f(n−k)=n−k+2+n−k+1\displaystyle g(n)=f(n-k)= \sqrt {n-k+2} + \sqrt {n-k+1}이다. 그런데

+3점 · 2g(n)=2(n−k+2−n−k+1)\displaystyle \frac{2}{g(n)} =2( \sqrt {n-k+2} - \sqrt {n-k+1} )을 구했으면

2g(n)=2n−k+2+n−k+1=2(n−k+2−n−k+1)(n−k+2+n−k+1)(n−k+2−n−k+1)\displaystyle \frac{2}{g(n)} = \frac{2}{\sqrt {n-k+2} + \sqrt {n-k+1}} = \frac{2( \sqrt {n-k+2} - \sqrt {n-k+1} )}{( \sqrt {n-k+2} + \sqrt {n-k+1} )( \sqrt {n-k+2} - \sqrt {n-k+1} )}=2(n−k+2−n−k+1)\displaystyle =2( \sqrt {n-k+2} - \sqrt {n-k+1} )이므로

+4점 · ∑n=120182g(n)=2(2020−k−2−k)\displaystyle \sum _{n=1} ^{2018} \frac{2}{g(n)} =2( \sqrt {2020-k} - \sqrt {2-k} )를 구했으면

∑n=120182g(n)=∑n=120182(n−k+2−n−k+1)=2(2020−k−2−k)\displaystyle \sum _{n=1} ^{2018} \frac{2}{g(n)} = \sum _{n=1} ^{2018} 2( \sqrt {n-k+2} - \sqrt {n-k+1} ) =2( \sqrt {2020-k} - \sqrt {2-k} )이다.

+5점 · g(x)=x\displaystyle g(x)=x를 구했으면

[2] (1) (f∘f)(x)=1−1x\displaystyle (f \circ f)(x)=1- \frac{1}{x}, (f∘f∘f)(x)=x\displaystyle (f \circ f \circ f)(x)=x, (f∘f∘f∘f)(x)=f(x)\displaystyle (f \circ f \circ f \circ f)(x)=f(x), ⋯\displaystyle \cdots 이므로 g(x)=x\displaystyle g(x)=x이다.

+4점 · lim⁡x→3f(x)g(x)=−16\displaystyle \lim _{x \to 3} { \frac{f(x)}{g(x)} } { = - \frac{1}{6}}을 구했으면

따라서 lim⁡x→3f(x)g(x)=lim⁡x→311−xx=lim⁡x→31x(1−x)=−16\displaystyle \lim _{x \to 3} { \frac{f(x)}{g(x)} = } \lim _{x \to 3} { \frac{\frac{1}{1-x}}{x} = } \lim _{x \to 3} { \frac{1}{x(1-x)} = - \frac{1}{6}}이다.

+3점 · n=3t\displaystyle n=3t 또는 n=3t+1\displaystyle n=3t+1 또는 n=3t+2\displaystyle n=3t+2인 정수 t\displaystyle t가 존재함을 설명했으면

(2) n=3t\displaystyle n=3t 또는 n=3t+1\displaystyle n=3t+1 또는 n=3t+2\displaystyle n=3t+2인 정수 t\displaystyle t가 존재한다.

+4점 · n=3t\displaystyle n=3t이면 h(x)=x\displaystyle h(x)=x이고 n=3t+1\displaystyle n=3t+1이면 h(x)=11−x\displaystyle h(x)= \frac{1}{1-x}임을 설명했으면

만일 n=3t\displaystyle n=3t이면 h(x)=x\displaystyle h(x)=x이다. 만일 n=3t+1\displaystyle n=3t+1이면 h(x)=11−x\displaystyle h(x)= \frac{1}{1-x}이다. 따라서, n=3t+2\displaystyle n=3t+2인 정수 t\displaystyle t가 존재한다.

+3점 · f(w)=0\displaystyle f(w)=0을 구했으면

[3] f(w)=q(w)g(w)=0\displaystyle f(w)=q(w)g(w)=0

+3점 · f(w)=aw52+bw27+1=aw+b+1\displaystyle f(w)=aw ^{52} +bw ^{27} +1=aw+b+1을 구했으면

이고 w3=1\displaystyle w ^{3} =1이므로 f(w)=aw52+bw27+1=aw+b+1=0\displaystyle f(w)=aw ^{52} +bw ^{27} +1=aw+b+1=0이다.

+4점 · a=0\displaystyle a=0, b=−1\displaystyle b= -1을 구했으면 (각각 2점씩)

그런데 w=−1+3i2\displaystyle w= \frac{-1+ \sqrt {3} i}{2} 또는 w=−1−3i2\displaystyle w= \frac{-1- \sqrt {3} i}{2}이고 a\displaystyle a와 b\displaystyle b는 실수이므로 a=0\displaystyle a=0이고 b=−1\displaystyle b= -1이다.

+6점 · −1≤[x2−2x]<0\displaystyle -1 \le [x ^{2} -2x]<0을 구했으면

[4] [f(x)]=[x2−2x]−3,[g(x)]=[x2−2x]−5\displaystyle [ f(x) ]=[x ^{2} -2x]-3, [ g(x) ]=[x ^{2} -2x]-5이므로 2[x2−2x]−5=[x2−2x]−6\displaystyle 2[x ^{2} -2x]-5=[x ^{2} -2x]-6이다. 따라서 [x2−2x]=−1\displaystyle [x ^{2} -2x]= -1이고 −1≤[x2−2x]<0\displaystyle -1 \le [x ^{2} -2x]<0이다.

+3점 · −1≤[x2−2x]\displaystyle -1 \le [x ^{2} -2x]은 모든 실수 x\displaystyle x에 대하여 성립함을 보였으면

부등식 −1≤[x2−2x]\displaystyle -1 \le [x ^{2} -2x]로부터 [x2−2x+1]≥0\displaystyle [x ^{2} -2x+1] \ge 0이다. 그런데 모든 x\displaystyle x에 대하여 x2−2x+1≥0\displaystyle x ^{2} -2x+1 \ge 0이므로, 부등식 −1≤[x2−2x]\displaystyle -1 \le [x ^{2} -2x]은 모든 실수 x\displaystyle x에 대하여 성립한다.

+3점 · [x2−2x]<0\displaystyle [x ^{2} -2x]<0로부터 0<x<2\displaystyle 0<x<2를 구했으면

또한 [x2−2x]<0\displaystyle [x ^{2} -2x]<0으로부터 x2−2x<0\displaystyle x ^{2} -2x<0이고 x(x−2)<0\displaystyle x(x-2)<0이므로 0<x<2\displaystyle 0<x<2이다.

+2점 · x=1\displaystyle x=1을 구했으면

그러므로 주어진 방정식을 만족시키는 정수 x\displaystyle x는 x=1\displaystyle x=1이다.

첨삭 사례

아직 등록된 첨삭 사례가 없습니다.

질문과 답변 · 0개질문과 답변 · 고정 0개

아직 등록된 질문이 없습니다. 질문 작성은 멤버십 회원만 가능합니다.