자연계열 2번

$\displaystyle y=\log _{2} x$를 $\displaystyle y$축의 방향으로 $\displaystyle b$만큼 평행이동시키면 $\displaystyle y=\log _{2} x+b$이다. 이 곡선이 점 $\displaystyle (3, k)$를 지나기 때문에 $\displaystyle b=\log _{2} \frac{2 ^{k}}{3}$이다. 이 곡선의 $\displaystyle x$절편 $\displaystyle a _{k} = \frac{3}{2 ^{k}}$

이므로 $\displaystyle \sum _{k=1} ^{\infty } a _{k} = \frac{\frac{3}{2}}{1- \frac{1}{2}} =3$

$\displaystyle f(x)=e ^{-3x} \cos x$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)=-e ^{-3x} (3 \cos x+\sin x)$$\displaystyle f^{\prime} (a)=0$이므로 $\displaystyle 3 \cos a + \sin a=0$. 여기서 $\displaystyle \cos a \ne 0$ 이다. (만약 $\displaystyle \cos a=0$이라면 $\displaystyle a = \frac{\pi }{2}$ 또는 $\displaystyle a = \frac{3\pi }{2}$이다. 이때 $\displaystyle \sin \frac{\pi }{2} =1$이고 $\displaystyle \sin \frac{3 \pi }{2} =-1$이므로 두 경우 모두 $\displaystyle 3 \cos a + \sin a \ne 0$이다). 따라서 양변을 $\displaystyle \cos a$으로 나눌 수 있고 그렇게 하면 $\displaystyle \tan a = -3$

$\displaystyle f^{\prime\prime} (x)=e ^{-3x} (8 \cos x+6 \sin x)$이고 $\displaystyle 3 \cos a + \sin a=0$으로부터 $\displaystyle f^{\prime\prime} (a)=e ^{-3a} (-10 \cos a)$이며 제시문 2의 ㉡에 의해 $\displaystyle f^{\prime\prime}(a)>0$이므로 $\displaystyle \cos a<0$이고 $\displaystyle \tan ^{2} a+1=\sec ^{2} a$으로부터$\displaystyle \cos a = - \frac{1}{\sqrt {10}}$

(1) $\displaystyle \int {\tan x dx = \int {\frac{\sin x}{\cos x} dx}}$에서 $\displaystyle t=\cos x$로 치환하면$\displaystyle \int {\tan x dx = \int {\frac{\sin x}{\cos x} dx}} =- \int {\frac{1}{t} dt} =-\ln | t | +C$ (단, $\displaystyle C$는 적분상수)구하는 식은 $\displaystyle -\ln |\cos x| +C$ (단, $\displaystyle C$는 적분상수)

$\displaystyle y=\tan x$의 그래프를 통해$\displaystyle \int _{\left ( n- \frac{1}{4} \right ) \pi } ^{\left ( n+ \frac{1}{4} \right ) \pi } {\left | \tan x \right | dx } =2 \int _{n \pi } ^{\left ( n+ \frac{1}{4} \right ) \pi } {\tan x dx = 2 \int _{0} ^{\frac{\pi }{4}} {\tan x dx}} =2 \Biggl[ -\ln \left | \cos x \right | \Biggr] _{0}^{\frac{\pi }{4}} =\ln 2$임을 알 수 있다.

그러므로 $\displaystyle S _{n} = \left ( \frac{1}{3} \right ) ^{n} \ln 2$

$\displaystyle \angle OAB= \angle OBA= \frac{\pi }{2} - \theta$이므로 삼각형 $\displaystyle OAB$에서 $\displaystyle \angle AOB=2 \theta$그러므로 부채꼴 $\displaystyle OAB$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} 3 ^{2} (2 \theta )=9 \theta$,

삼각형 $\displaystyle OAB$의 넓이는 $\displaystyle \frac{9}{2} \sin 2 \theta$

위 (1)로부터 연립부등식 $\displaystyle \begin{cases}y<t(x+2) \\(x+2) ^{2} +(y-3) ^{2} \le 9\end{cases}$가 나타내는 영역의 넓이는 $\displaystyle 9 \theta - \frac{9}{2} \sin 2 \theta$. 따라서 $\displaystyle g( \theta )=9 \pi -9 \theta + \frac{9}{2} \sin 2 \theta$

$\displaystyle t=\tan \theta$이므로 $\displaystyle g( \theta )=f(t)=f(\tan \theta )$이다. 양변을 $\displaystyle \theta$에 대하여 미분하면$\displaystyle g^{\prime}( \theta )=f^{\prime}(\tan \theta )\sec ^{2} \theta$

(2)에서 $\displaystyle g ^{\prime} ( \theta )=-9+9 \cos 2 \theta =-9+9(1-2 \sin ^{2} \theta )=-18 \sin ^{2} \theta$이다.

$\displaystyle t=1$일 때 $\displaystyle \tan \theta =1$이고 $\displaystyle 0< \theta < \frac{\pi }{2}$이므로 $\displaystyle \sin \theta =\cos \theta = \frac{1}{\sqrt {2}}$이다. 그러므로$\displaystyle f ^{\prime} (1)=-18 \sin ^{2} \theta \cos ^{2} \theta =- \frac{9}{2}$