자연계열 1번

[1]

(1) (i) $\displaystyle g(a)=a$이면 주어진 방정식의 실근 $\displaystyle x=a$가 존재하고, $\displaystyle g(b)=b$이면 실근 $\displaystyle x=b$가 존재한다.

(ii) $\displaystyle g(a)\ne a$이고 $\displaystyle g(b)\ne b$라고 가정하자.

함수 $\displaystyle f(x)=g(x)-x$라고 하면, 연속함수의 차는 연속함수이므로 함수 $\displaystyle f(x)$는 닫힌구간 $\displaystyle [a, b]$에서 연속이다.

$\displaystyle a \le x \le b$일 때 $\displaystyle a \le g(x) \le b$이므로 다음이 성립한다.

$\displaystyle f(a)=g(a)-a>0$, $\displaystyle f(b)=g(b)-b<0$

따라서 사잇값의 정리에 의하여 $\displaystyle f(c)=0$인 $\displaystyle c$가 열린구간 $\displaystyle (a, b)$에 적어도 하나 존재한다. 즉, $\displaystyle g(c)=c$인 $\displaystyle c$가 $\displaystyle (a, b)$에 적어도 하나 존재한다.

(i), (ii)로부터 방정식 $\displaystyle g(x)=x$는 닫힌구간 $\displaystyle [a, b]$에서 적어도 하나의 실근을 가진다.

(2) 방정식 $\displaystyle g(x)=x$의 서로 다른 근 $\displaystyle \alpha$와 $\displaystyle \beta ( \alpha < \beta )$가 $\displaystyle (a, b)$에 존재한다고 가정하자. 그러면 $\displaystyle g( \alpha )= \alpha$, $\displaystyle g( \beta )= \beta$이다. 함수 $\displaystyle g(x)$가 닫힌구간 $\displaystyle [a, b]$에서 연속이고 열린구간 $\displaystyle (a, b)$에서 미분가능하므로 평균값정리에 의하여

$\displaystyle g ^{\prime} (c)=\frac{g( \beta )-g( \alpha )}{ \beta - \alpha }=1$

가 성립하는 $\displaystyle c\in( \alpha , \beta )$가 존재한다. 조건에서 $\displaystyle \left |g ^{\prime} (c) \right |<1$이므로 모순이다.

따라서 $\displaystyle \alpha = \beta$즉, 방정식 $\displaystyle g(x)=x$의 근이 존재하면 오직 하나이다.

[2]

(a)에서 $\displaystyle \cos ^{2} x+(k+2) \sin x-2 k-1>0$은 $\displaystyle \cos ^{2} x=1- \sin ^{2} x$이므로 $\displaystyle \sin ^{2} x-(k+2) \sin x+2 k<0$

따라서 $\displaystyle ( \sin x-2)( \sin x-k)<0$

$\displaystyle \sin x-2<0$이므로 $\displaystyle \sin x-k>0$에서 $\displaystyle k< \sin x$

이것이 모든 실수 $\displaystyle x$에 대하여 성립하려면 $\displaystyle k <- 1\cdots \cdots$ ①

(b)에서 방정식 $\displaystyle \sqrt {2 x+1}-2 x+k=0$이 서로 다른 두 실근을 가지려면 곡선 $\displaystyle y= \sqrt {2 x+1}$과 직선 $\displaystyle y=2 x-k$의 그래프가 두 개의 교점을 가져야 한다.

곡선과 직선이 접할 때, $\displaystyle \sqrt {2 x+1}=2 x-k$를 제곱하여 정리한 이차방정식 $\displaystyle 4 x^{2}-2(2 k+1) x+k^{2}-1=0$에서 판별식을 $\displaystyle D$라고 하면 $\displaystyle \frac{D}{4}=(2 k+1)^{2}-4 \left (k^{2}-1 \right )=4 k+5=0$ 즉, $\displaystyle k=-\frac{5}{4}$

직선이 점 $\displaystyle \left (-\frac{1}{2}, 0 \right )$을 지날 때 $\displaystyle 1+k=0$에서 $\displaystyle k=-1$

그러므로 방정식 $\displaystyle \sqrt {2 x+1}-2 x+k=0$이 서로 다른 두 실근을 가지는 $\displaystyle k$의 값의 범위는 $\displaystyle -\frac{5}{4}<k \le -1\cdots \cdots$ ②

따라서 ①, ②를 동시에 만족하는 $\displaystyle k$의 값의 범위는 $\displaystyle -\frac{5}{4}<k <- 1$

[3]

(1) 두 점 $\displaystyle A$, $\displaystyle B$의 위치벡터를 $\displaystyle \vec{a}=\overrightarrow{OA}=( \sqrt {3}, 1)$, $\displaystyle \vec{b}=\overrightarrow{OB}=(-1, - \sqrt {3})$라고 하면, 두 벡터 $\displaystyle \vec{a}$와 $\displaystyle \vec{b}$의 내적은 $\displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b}=-2 \sqrt {3}<0$

그러므로 두 벡터가 이루는 각을 $\displaystyle \theta$라고 하면 $\displaystyle 90 ^\circ < \theta \le 180 ^\circ$

$\displaystyle |\vec{a}|=2$, $\displaystyle |\vec{b}|=2$이고 $\displaystyle \cos \left (180 ^\circ - \theta \right )=-\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{ \sqrt {3}}{2}$이므로 $\displaystyle 180 ^\circ - \theta =30 ^\circ$

따라서 $\displaystyle \theta =150 ^\circ$

$\displaystyle \sin 150 ^\circ =\frac{1}{2}$이므로 삼각형 $\displaystyle OAB$의 넓이는 $\displaystyle S=\frac{1}{2}|\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta =1$

(2) 삼각형 $\displaystyle OAB$에서 $\displaystyle \angle AOB =150 ^\circ$이고, $\displaystyle |\overrightarrow{AB}|= \sqrt {2}( \sqrt {3}+1)$이므로 외접원의 반지름 $\displaystyle R$은 사인법칙에서 $\displaystyle R=\frac{|\overrightarrow{AB}|}{2 \sin 150 ^\circ }= \sqrt {2}( \sqrt {3}+1)$이다.

사각형 $\displaystyle OAPB$의 넓이는 삼각형 $\displaystyle OAB$의 넓이와 삼각형 $\displaystyle APB$의 넓이의 합이고, 삼각형 $\displaystyle OAB$의 넓이는 일정하므로 삼각형 $\displaystyle APB$의 넓이가 최대일 때 사각형의 넓이가 최대이다.

오른쪽 그림과 같이 $\displaystyle \overrightarrow{OP}$가 $\displaystyle \overrightarrow{AB}$의 중점을 지나고 그 길이가 외접원의 지름일 때, 삼각형 $\displaystyle APB$의 넓이가 최대이다.

$\displaystyle |\overrightarrow{OP}|=2 R$이므로 사각형 $\displaystyle OAPB$의 최대 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2}|\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{AB}|=4(2+ \sqrt {3})$

[4] 함수 $\displaystyle h(x)=x \ln x-x$라고 하면 함수 $\displaystyle h(x)$는 미분가능하고 $\displaystyle h ^{\prime} (x)= \ln x$이다.

$\displaystyle h ^{\prime} (x)=0$에서 $\displaystyle x=1$이고 $\displaystyle 0<x<1$일 때 $\displaystyle h ^{\prime} (x)<0$이므로 $\displaystyle h(x)$는 감소하고, $\displaystyle x>1$일 때 $\displaystyle h ^{\prime} (x)>0$이므로 $\displaystyle h(x)$는 증가한다. 그러므로 $\displaystyle x=1$에서 $\displaystyle h(x)$는 극소이다. 따라서 $\displaystyle \alpha =1$

점 $\displaystyle ( \beta , h( \beta ))$에서 접선의 기울기는 $\displaystyle h ^{\prime} ( \beta )= \ln \beta =1$이므로 $\displaystyle \beta =e$

$\displaystyle (1,e)$에서 $\displaystyle h^{\prime\prime}(x)=\dfrac1x>0$이므로 곡선 $\displaystyle y=h(x)$는 아래로 볼록하다.

(i) 직선 $\displaystyle y=k x-2$가 점 $\displaystyle (1, -1)$을 지날 때 $\displaystyle k=1$

(ii) 직선 $\displaystyle y=k x-2$가 곡선 $\displaystyle y=h(x)$와 접할 때, 접점의 $\displaystyle x$좌표를 $\displaystyle t$라고 하면 $\displaystyle \ln t=k$즉, $\displaystyle t=e^{k}$곡선과 접선의 $\displaystyle y$좌표는 같으므로 $\displaystyle t \ln t-t=k t-2$ 즉, $\displaystyle k= \ln 2$

(iii) 직선 $\displaystyle y=k x-2$가 점 $\displaystyle (e, 0)$을 지날 때 $\displaystyle k=\frac{2}{e}$

함수 $\displaystyle h(x)$는 $\displaystyle [1, e]$에서 증가하고 곡선 $\displaystyle y=h(x)$는 아래로 볼록하므로 (i), (ii), (iii)에서 구한 $\displaystyle k$의 값을 비교하면 $\displaystyle \ln 2<\frac{2}{e}\le1$

그러므로 $\displaystyle p x-2 \le h(x) \le q x-2$가 성립하려면 $\displaystyle p \le \ln 2$, $\displaystyle q \ge 1$

따라서 $\displaystyle p$의 최댓값은 $\displaystyle \ln 2$, $\displaystyle q$의 최솟값은 $\displaystyle 1$