자연계열 2번

[1]

(1) 적분되는 함수를 $\displaystyle g(x)$라고 하자.

$\displaystyle g(x)=x^{2022} f(x) e^{x^{2}+x}=x^{2025} e^{x^{2}}$은 $\displaystyle g(-x)=-g(x)$이므로 원점에 대하여 대칭인 함수이다. $\displaystyle x=-t$로 치환하면

$\displaystyle \int_{-e}^{e} x^{2022} f(x) e^{x^{2}+x} d x= \int_{0}^{e} g(x) d x+ \int_{-e}^{0} g(x) d x= \int_{0}^{e} g(x) d x- \int_{0}^{e} g(t) d t=0$

(2) $\displaystyle f ^{\prime} (x)= \left (-x^{3}+3 x^{2} \right ) e^{-x}=-x^{2}(x-3) e^{-x}$이고 $\displaystyle f ^{\prime} (x)=0$에서 $\displaystyle x=0$, $\displaystyle 3$

따라서 최댓값은 $\displaystyle f(3)= \left (\frac{3}{e} \right )^{3}$

(3) $\displaystyle (f\circ f) ^{\prime} (x)=f ^{\prime} (f(x)) f ^{\prime} (x)=0$에서 $\displaystyle f ^{\prime} (f(x))=0$또는 $\displaystyle f ^{\prime} (x)=0$

$\displaystyle f ^{\prime} (x)=0$인 경우, $\displaystyle x=0$, $\displaystyle 3$

$\displaystyle f ^{\prime} (f(x))=0$인 경우, $\displaystyle f(x)=0$, $\displaystyle 3$이므로 $\displaystyle x=0$또는 $\displaystyle f(x)=x^{3} e^{-x}=3$인 $\displaystyle x$

(i) $\displaystyle x=0$일 때.$\displaystyle x=0$의 좌우에서 (2)의 표에서와 같이 $\displaystyle f ^{\prime} (x)$의 부호는 바뀌지 않고, $\displaystyle f ^{\prime} (f(0))=f ^{\prime} (0)$이므로 $\displaystyle (f\circ f) ^{\prime} (x)$의 부호는 바뀌지 않는다.

(ii) $\displaystyle x=3$일 때,

$\displaystyle x=3$의 좌우에서 (2)의 표에서와 같이 $\displaystyle f ^{\prime} (x)$의 부호가 양에서 음으로 바뀌고, $\displaystyle f ^{\prime} (f(3))>0$이므로 $\displaystyle (f\circ f) ^{\prime} (x)$의 부호도 양에서 음으로 바뀐다. 따라서 $\displaystyle x=3$에서 극대이다.

(iii) $\displaystyle f(x)=x^{3} e^{-x}=3$을 만족하는 $\displaystyle x$일 때,

$\displaystyle f(x)=x^{3} e^{-x}=3$일 때, (2)에서 $\displaystyle f(x)$의 최댓값은 $\displaystyle \left (\frac{3}{e} \right )^{3}\approx 1.344$(제시문$\displaystyle 1$이용)이므로 $\displaystyle f(x)<3$

따라서 $\displaystyle f(x)=x^{3} e^{-x}=3$인 $\displaystyle x$는 존재하지 않는다.

(i), (ii), (iii)으로부터 함수 $\displaystyle (f\circ f)(x)$가 극값을 갖도록 하는 $\displaystyle x$좌표는 $\displaystyle 3$

[2]

(1) $\displaystyle \sin ^{2021} x=-1- \sqrt {2}| \cos x|$에서 $\displaystyle - \sqrt {2}| \cos x| \le 0$이므로 $\displaystyle \sin ^{2021} x \le -1$

또한 $\displaystyle -1 \le \sin ^{2021} x \le 1$이므로 $\displaystyle \sin ^{2021} x=-1$이며 따라서 $\displaystyle \sin x=-1$

이것을 방정식에 대입하면 $\displaystyle \cos x=0$

$\displaystyle -2 \pi \le x \le 2 \pi$에서 $\displaystyle \sin x=-1$와 $\displaystyle \cos x=0$을 만족하는 $\displaystyle x$는 $\displaystyle -\frac{ \pi }{2}$, $\displaystyle \frac{3}{2} \pi$

따라서 모든 실근의 합 $\displaystyle a$는 $\displaystyle \pi$, 모든 실근의 곱 $\displaystyle b$는 $\displaystyle -\frac{3}{4} \pi ^{2}$

(2) $\displaystyle S_{n}=a n^{2}+\frac{b}{ \pi } n= \pi n^{2}-\frac{3}{4} \pi n$

$\displaystyle a_{1}=S_{1}=\frac{ \pi }{4} ~ \cdots \cdots ①$

$\displaystyle n \ge 2$일 때, $\displaystyle a_{n}=S_{n}-S_{n-1}= \pi n^{2}-\frac{3}{4} \pi n- \pi (n-1)^{2}+\frac{3}{4} \pi (n-1)=2 \pi n-\frac{7}{4} \pi ~ \cdots \cdots$②

①은 ②에 $\displaystyle n=1$을 대입한 결과와 같으므로 구하는 일반항은 $\displaystyle a_{n}=2 \pi n-\frac{7}{4} \pi ~ (n \ge 1)$

[3]

(1) 조건 (a)를 이용하면 $\displaystyle \int_{0}^{1} F(x) d x= \int_{0}^{1} \left (f(x)+1-e^{x} \right ) d x=F(1)+ \Biggl[x-e^{x} \Biggr]_{0}^{1}=F(1)+2-e$

조건 (b)를 이용하면 $\displaystyle \int_{0}^{1} F(x) d x=3-e ~ \cdots \cdots$③

이로부터 $\displaystyle \int_{0}^{1} x f(x) d x=\Biggl[x F(x)\Biggr]_{0}^{1}- \int_{0}^{1} F(x) d x=e-2$

(2) 조건 (a)를 이용하면

$\displaystyle \int_{0}^{1}(F(x))^{2} d x= \int_{0}^{1} F(x) \left (f(x)+1-e^{x} \right ) d x= \int_{0}^{1} \frac{d}{d x} \frac{(F(x))^{2}}{2} d x+ \int_{0}^{1} F(x) d x- \int_{0}^{1} e^{x} F(x) d x$

위 식을 정리하여 ③과 조건 (b)를 이용하면

$\displaystyle \int_{0}^{1} F(x) \left\{ e^{x}+F(x)\right\} d x=\frac{1}{2} \left\{ (F(1))^{2}-(F(0))^{2}\right\} +3-e=\frac{7}{2}-e$

제시문$\displaystyle 1$을 이용하면 $\displaystyle \frac{7}{2}-e>0.78$

따라서 $\displaystyle \int_{0}^{1} F(x) \left\{ e^{x}+F(x)\right\} d x>n$인 최대 정수 $\displaystyle n$은 $\displaystyle 0$