자연계열 1번

[1]

(1) 세 수가 등차수열을 이루면 $\displaystyle 2\sin(2\pi\cos x)=\cos(2\pi\cos x)-2-\cos(2\pi\cos x)$, 즉 $\displaystyle \sin(2\pi\cos x)=-1$$\displaystyle |\cos x|\le1$이므로 $\displaystyle -2\pi\le2\pi\cos x\le2\pi$이고 $\displaystyle 2\pi\cos x=-\dfrac\pi2,~\dfrac{3\pi}2$ 즉 $\displaystyle \cos x=-\dfrac14,~\dfrac34$

$\displaystyle 0\le x<2\pi$에서 $\displaystyle y=\cos x$의 그래프를 고려하면 $\displaystyle x$의 개수는 4개이다.

$\displaystyle {\cos } x=-\frac{1}{4},~ \frac{3}{4}$을 세 수에 대입하면 $\displaystyle -2,~-1,~0$이므로 공차는 $\displaystyle 1$

(2) 세 수가 등비수열을 이루면 $\displaystyle {\sin } ^{2}(2 \pi {\cos } x)= \left\{ {\cos } (2 \pi {\cos } x)-2 \right\} \left\{- {\cos } (2 \pi {\cos } x) \right\}$,

정리하면 $\displaystyle {\sin } ^{2}(2 \pi {\cos } x)+ {\cos } ^{2}(2 \pi {\cos } x)=2 {\cos } (2 \pi {\cos } x)$

즉 $\displaystyle {\cos } (2 \pi {\cos } x)=\frac{1}{2}$$\displaystyle | {\cos } x| \le 1$이므로 $\displaystyle ~-2 \pi \le 2 \pi {\cos } x \le 2 \pi$이고 $\displaystyle 2 \pi {\cos } x=-\frac{5 \pi }{3},~-\frac{\pi }{3},~ \frac{\pi }{3},~ \frac{5 \pi }{3}$

즉, $\displaystyle {\cos } x=-\frac{5}{6},~-\frac{1}{6},~ \frac{1}{6},~ \frac{5}{6}$$\displaystyle 0 \le x<2 \pi$에서 $\displaystyle y= {\cos } x$의 그래프를 고려하면 $\displaystyle x$의 개수는 $\displaystyle 8$개이다.

$\displaystyle {\cos } x=-\frac{5}{6},~ \frac{1}{6}$을 세 수에 대입하면 $\displaystyle -\frac{3}{2},~ \frac{\sqrt {3}}{2},~-\frac{1}{2}$이므로 공비는 $\displaystyle -\frac{\sqrt {3}}{3}$$\displaystyle {\cos } x=-\frac{1}{6},~ \frac{5}{6}$를 세 수에 대입하면 $\displaystyle -\frac{3}{2},~-\frac{\sqrt {3}}{2},~-\frac{1}{2}$이므로 공비는 $\displaystyle \frac{\sqrt {3}}{3}$

[2]

$\displaystyle z+\frac{1}{z}=x+y i+\frac{1}{x+y i}=\frac{x \left (x^{2}+y^{2}+1 \right )}{x^{2}+y^{2}}+\frac{y \left (x^{2}+y^{2}-1 \right ) i}{x^{2}+y^{2}}$

조건 (가)로부터 $\displaystyle z+\frac{1}{z}$는 실수이므로 $\displaystyle y=0$또는 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$

(i) $\displaystyle y=0$일 때

조건 (나)로부터 $\displaystyle 1\le\dfrac{x(x^2+1)}{x^2}\le2$이다. $\displaystyle x>0$이므로 $\displaystyle \begin{cases}x^2-x+1\ge0&\cdots\cdots\text{①}\\x^2-2x+1=(x-1)^2\le0&\cdots\cdots\text{②}\end{cases}$

①에서 판별식 $\displaystyle D=1-4=-3<0$이므로 모든 실수 $\displaystyle x$가 ①을 만족한다.

②로부터 $\displaystyle x=1$이므로 $\displaystyle (x,~ y)=(1,~0)$

(ii) $\displaystyle x^{2}+y^{2}=1$일 때

조건 (나)로부터 $\displaystyle 1\le2x\le2$이다. 따라서 $\displaystyle \dfrac12\le x\le1$

( i )과 (ii)로부터 점 $\displaystyle (x,~ y)$가 나타내는 곡선은 오른쪽 그림에서 중심각이 $\displaystyle \frac{2 \pi }{3}$인 호 $\displaystyle \mathrm{AB}$이다.

[3]

(1) $\displaystyle f(x)=\sqrt2\Leftrightarrow x+\dfrac1x=\sqrt2$이것을 제곱하면 $\displaystyle x^2+\dfrac1{x^2}=0$, 즉 $\displaystyle x^4=-1$

$\displaystyle x^{2023}=x^{4 \times 505+3}=(-1)^{505} \cdot x^{3}=-x^{3}$이므로 $\displaystyle x^{2023}+\frac{1}{x^{2023}}=- \left (x^{3}+\frac{1}{x^{3}} \right )$

$\displaystyle x^{3}+\frac{1}{x^{3}}= \left (x+\frac{1}{x} \right )^{3}-3 \left (x+\frac{1}{x} \right )=-\sqrt {2}$이므로 $\displaystyle x^{2023}+\frac{1}{x^{2023}}=\sqrt {2}$

(2) $\displaystyle x+\frac{1}{x}+2=t$라고 하면

$\displaystyle t^{2}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+4+2 \left (2 x+\frac{2}{x}+1 \right )=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+4+2 \left (2 x+\frac{2}{x}+4-4+1 \right )=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}+4 t-2$$\displaystyle x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=t^{2}-4 t+2$이므로 $\displaystyle 3 x^{2}+\frac{3}{x^{2}}-10=3 \left (t^{2}-4 t+2 \right )-10=3 t^{2}-12 t-4$

따라서 $\displaystyle g(t)=3 t^{2}-12 t-4$

[4]

다음 두 곡선이 서로 다른 두 점에서 만나게 하는 $\displaystyle a$의 범위는 오른쪽 그림을 참고하여 아래와 같이 나눌 수 있다.

$\displaystyle \begin{cases}y=\sqrt{x+2}&\cdots\cdots\text{①}\\y=|x-a|+x&\cdots\cdots\text{②}\end{cases}$

(i) $\displaystyle a \ge 0$일 때, $\displaystyle 0 \le a<2$

(ii) $\displaystyle a<0$라고 하자.

$\displaystyle x \ge a$일 때 ②는 $\displaystyle y=2 x-a$

이것이 ①과 접하면 $\displaystyle (2 x-a)^{2}=x+2$ 즉 $\displaystyle 4 x^{2}-(4 a+1) x+a^{2}-2=0$은 중근을 가지므로

판별식 $\displaystyle D=16 a^{2}+8 a+1-16 a^{2}+32=0$, 즉 $\displaystyle a=-\frac{33}{8} \cdots \cdots$③

$\displaystyle y=2 x-a$가 $\displaystyle (-2,~0)$을 지나면 $\displaystyle a=-4 \cdots \cdots$④

③과 ④로부터 $\displaystyle -\frac{33}{8}<a \le -4$

(i)과 (ii)로부터 $\displaystyle -\frac{33}{8}<a \le -4,~0 \le a<2$

[5]

(1) (i) $\displaystyle x=0$일 때, $\displaystyle f(0)$은 존재하지 않는다.

(ii) $\displaystyle |x|<1,~ x \ne 0$일 때,

$\displaystyle \lim _{n \to \infty } x^{2 n}=0,~ \lim _{x \to 0} \frac{ {\sin } x}{x}=1$이므로

$\displaystyle f(x)=\lim _{n \to \infty } \frac{1}{\frac{ {\sin } \left (x^{2 n} \pi \right )}{x^{2 n} \pi } \pi +1}=\frac{1}{\pi +1}$

(iii) $\displaystyle |x|>1$일 때, $\displaystyle \lim _{n \to \infty } x^{2 n}=\infty$이므로 $\displaystyle ~ f(x)=\lim _{n \to \infty } \frac{1}{\frac{ {\sin } \left (x^{2 n} \pi \right )}{x^{2 n}}+1}=1$

(iv) $\displaystyle x=± 1$일 때, $\displaystyle f(± 1)=1$

(i)~(iv)로부터 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x \ne 0,~ x \ne ± 1$인 모든 실수 $\displaystyle x$에서 연속이다.

(2) 곡선 $\displaystyle y=g(x)$를 $\displaystyle y$축으로 $\displaystyle k$만큼 평행이동한 곡선을 $\displaystyle y=h(x)$라고 하면 $\displaystyle h(x)=x^{2}+k$

곡선 $\displaystyle y=h(x)$가 점 $\displaystyle \left (± 1,~ \frac{1}{\pi +1} \right )$을 지나면 $\displaystyle h(± 1)=1+k=\frac{1}{\pi +1}$로부터 $\displaystyle k=-\frac{\pi }{\pi +1}$

곡선 $\displaystyle y=h(x)$가 점 $\displaystyle (± 1,~1)$을 지나면 $\displaystyle h(± 1)=1+k=1$, 즉 $\displaystyle k=0$

두 곡선이 서로 다른 네 점에서 만날 $\displaystyle k$의 범위는 아래 그림으로부터 $\displaystyle -\frac{\pi }{\pi +1}<k \le 0$