자연계열 2번

[1]

(1) $\displaystyle b=1-a$이므로 $\displaystyle 0 \le a \le 1$일 때 $\displaystyle 2^{a}+2^{1-a}$의 최댓값과 최솟값을 구하면 된다. $\displaystyle f(x)=2^{x}+2^{1-x}$라 하면, $\displaystyle f^{\prime}(x)= \left (2^{x}-2^{1-x} \right ) {\ln } 2=0$으로부터 $\displaystyle 2^{x}=2^{1-x}$이므로 $\displaystyle x=\frac{1}{2}$이다. $\displaystyle x=\frac{1}{2}$의 좌우에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)$의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 $\displaystyle f(x)$는 극소이다. $\displaystyle 0 \le x \le 1$에서 $\displaystyle x=0$또는 $\displaystyle x=1$일 때 최댓값 $\displaystyle 3,~ x=\frac{1}{2}$일 때 최솟값 $\displaystyle 2 \sqrt {2}$

(2) $\displaystyle \lim _{x \to \infty } \frac{ \left\{ \left (x+a^{4} \right )- \left (x+b^{4} \right ) \right\}(\sqrt {4 x+a}+\sqrt {4 x+b})}{ \left\{(4 x+a)-(4 x+b) \right\} \left (\sqrt {x+a^{4}}+\sqrt {x+b^{4}} \right )}$$\displaystyle =\lim _{x \to \infty } \frac{ \left (a^{4}-b^{4} \right ) \left (\sqrt {4+\frac{a}{x}}+\sqrt {4+\frac{b}{x}} \right )}{(a-b) \left (\sqrt {1+\frac{a^{4}}{x}}+\sqrt {1+\frac{b^{4}}{x}} \right )}$

$\displaystyle = \left (a^{2}+b^{2} \right )(a+b) \left (\frac{\sqrt {4}+\sqrt {4}}{\sqrt {1}+\sqrt {1}} \right )=2 \left\{(a+b)^{2}-2 a b \right\}=2(1-2 a b)=10$$\displaystyle ab=-2,~a+b=1$

로부터 $\displaystyle a=2,~ b=-1$또는 $\displaystyle a=-1,~ b=2$

[2]

$\displaystyle 2 x f(x)-x=\int_{1}^{x} \left\{f(t)-1 \right\} d t ~ \cdots \cdots$①

①의 양변에 $\displaystyle x=1$을 대입하면 $\displaystyle 2 f(1)-1=0$, 즉 $\displaystyle f(1)=\frac{1}{2} ~ \cdots \cdots$②

①의 양변을 $\displaystyle x$에 대하여 미분하면 $\displaystyle 2 f(x)+2 x f^{\prime}(x)-1=f(x)-1$즉, $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}=-\frac{1}{2 x} ~ \cdots \cdots$③

$\displaystyle\int\dfrac{f^{\prime}(x)}{f(x)}dx=\ln|f(x)|$이므로 ③의 양변을 적분하면 $\displaystyle \ln|f(x)|=-\dfrac12\ln x+C$ ⋯⋯④양변에 $\displaystyle x=1$을 대입하면 $\displaystyle \ln f(1)=C$이고 ②로부터 $\displaystyle C=\ln\dfrac12$

④로부터 $\displaystyle {\ln } |f(x)|=-\frac{1}{2} {\ln } x+ {\ln } \frac{1}{2}= {\ln } \frac{1}{2 \sqrt {x}}$

②로부터 $\displaystyle f(x)=\frac{1}{2 \sqrt {x}}$이고 $\displaystyle f(9)=\frac{1}{6}$

[3]

(1) $\displaystyle f^{\prime}(x)=-e^{-x}( {\sin } x+ {\cos } x)+e^{-x}( {\cos } x- {\sin } x)=-2 e^{-x} {\sin } x$$\displaystyle f^{\prime}(x)=0$에서 $\displaystyle {\sin } x=0$이므로 $\displaystyle ~ x=n \pi ~(n=1,~2,~3,~ \cdots )$$\displaystyle x=2 m \pi (m=1,~2,~3,~ \cdots )$의 좌우에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)$의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=2 m \pi$에서 극대이다. (이계도함수를 이용하여 $\displaystyle x=2 m \pi$에서 $\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=2 e^{-x}( {\sin } x- {\cos } x)<0$이므로 극대임을 보여도 된다.)

함수의 극댓값은 $\displaystyle f(2 m \pi )=e^{-2 m \pi }( {\sin } 2 m \pi + {\cos } 2 m \pi )=e^{-2 m \pi }$이고 $\displaystyle e^{-2 m \pi }>e^{-2(m+1) \pi } ~(m=1,~2,~3,~ \cdots )$이므로 $\displaystyle b_{m}=e^{-2 m \pi }$이다.

따라서 $\displaystyle {\ln } \frac{b_{n}}{b_{n+1}}= {\ln } \frac{e^{-2 n \pi }}{e^{-2(n+1) \pi }}= {\ln } e^{2 \pi }=2 \pi$

(2) $\displaystyle \int f(x) d x=F(x)+C$( $\displaystyle C$는 적분상수)라 하면 $\displaystyle F^{\prime}(x)=f(x)$$\displaystyle s=2 t-\pi$라 하면, $\displaystyle t=\frac{s+\pi }{2},~ d t=\frac{1}{2} d s,~ t=\pi$일 때 $\displaystyle s=\pi$이고 $\displaystyle t=\frac{x+\pi }{2}$일 때 $\displaystyle s=x$

따라서 $\displaystyle \lim _{x \to \pi } \frac{1}{x-\pi } \int_{\pi }^{\frac{x+\pi }{2}} f(2 t-\pi ) d t=\lim _{x \to \pi } \frac{1}{x-\pi } \int_{\pi }^{x} f(s) \frac{1}{2} d s=\frac{1}{2} \lim _{x \to \pi } \frac{F(x)-F(\pi )}{x-\pi }=\frac{1}{2} F^{\prime}(\pi )$

$\displaystyle =\frac{1}{2} f(\pi )=\frac{1}{2} e^{-\pi }( {\sin } \pi + {\cos } \pi )=-\frac{1}{2 e^{\pi }}$

[4]

(1) 조건 (가)에서 $\displaystyle f(x)=\displaystyle\int\dfrac1x\cos(\ln x)dx$이고 $\displaystyle \ln x=t$라 하면 $\displaystyle \dfrac1xdx=dt$이므로$\displaystyle f(x)=\displaystyle\int\cos t\,dt=\sin t+C=\sin(\ln x)+C$ ($\displaystyle C$는 적분상수)

조건 (나)에서 $\displaystyle f \left (e^{-\pi } \right )=1$이므로 $\displaystyle {\sin } \left ( {\ln } e^{-\pi } \right )+C=C=1$

따라서 $\displaystyle f(x)= {\sin } ( {\ln } x)+1$

(2) 방정식 $\displaystyle f(x)=0$에서 $\displaystyle {\sin } ( {\ln } x)=-1 ~ \cdots \cdots$ (1)

$\displaystyle 0<x<1$이므로 $\displaystyle {\ln } x<0$이고, 사인함수는 주기가 $\displaystyle 2 \pi$인 주기함수이므로

①로부터 $\displaystyle {\ln } x=-\frac{\pi }{2},~-\frac{5 \pi }{2},~ \cdots ,~-\frac{(4 n-3) \pi }{2},~ \cdots$

그러므로 $\displaystyle a_{1}=e^{-\frac{\pi }{2}},~ a_{2}=e^{-\frac{5 \pi }{2}},~ \cdots ,~ a_{n}=e^{-\frac{(4 n-3) \pi }{2}},~ \cdots$이고, $\displaystyle a_{n}=e^{-\frac{\pi }{2}} \left (e^{-2 \pi } \right )^{n-1}$($\displaystyle n$은 자연수) 따라서 $\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty } a_{n}=\frac{e^{-\frac{\pi }{2}}}{1-e^{-2 \pi }}=\frac{e^{\frac{3 \pi }{2}}}{e^{2 \pi }-1}$

[5]

(1) $\displaystyle \mathrm{A}$가 이기는 경우 $\displaystyle { }_{4} \mathrm{C}_{4}+{ }_{4} \mathrm{C}_{3}+{ }_{4} \mathrm{C}_{2}=1+4+6=11$(가지)

$\displaystyle \mathrm{B}$가 이기는 경우 $\displaystyle { }_{4} \mathrm{C}_{4}+{ }_{4} \mathrm{C}_{3}=1+4=5$(가지)

따라서 $\displaystyle \mathrm{A}$가 우승할 확률은 $\displaystyle \frac{11}{16}$이고 $\displaystyle \mathrm{B}$가 우승할 확률은 $\displaystyle \frac{5}{16}$

(2) $\displaystyle \mathrm{A}$가 우승할 확률은 $\displaystyle \frac{11}{16}$이므로 $\displaystyle \mathrm{A}$의 상금은 $\displaystyle 8,~000,~000 \times \frac{11}{16}=5,~500,~000$(원)

$\displaystyle \mathrm{B}$가 우승할 확률은 $\displaystyle \frac{5}{16}$이므로 $\displaystyle \mathrm{B}$의 상금은 $\displaystyle 8,~000,~000 \times \frac{5}{16}=2,~500,~000$(원)