자연계열 1번

(1) $\displaystyle \left(\frac{1}{27}\right)^{\frac{a}{12}}=3^{-3\times\frac{a}{12}}=\left(3^{a}\right)^{-\frac{1}{4}}=4^{-\frac{1}{4}}$

$\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

(2) $\displaystyle \log_{3}4$는 유리수라고 가정하자.

$\displaystyle \log_{3}4>0$이므로 $\displaystyle \log_{3}4=\frac{q}{p}$인 자연수 $\displaystyle p$, $\displaystyle q$가 존재한다.$\displaystyle \log_{3}4=\frac{q}{p}\ \Leftrightarrow\ 3^{\frac{q}{p}}=4$로부터 $\displaystyle 3^{q}=4^{p}$을 얻는다.

$\displaystyle 3^{q}$은 홀수이고 $\displaystyle 4^{p}$은 짝수이므로 모순이다.따라서 $\displaystyle \log_{3}4$는 무리수이다.

[2] 주어진 방정식의 실근을 두 함수 $\displaystyle f(x)=\cos^{2}x-\sin x$와 $\displaystyle y=x$의 교점으로 구한다.$\displaystyle f(x)=\cos^{2}x-\sin x=-\sin^{2}x-\sin x+1$

$\displaystyle f^{\prime}(x)=-2\sin x\cos x-\cos x=-\cos x(2\sin x+1)$$\displaystyle f^{\prime}(x)=0$을 만족하는 극값을 구하면$\displaystyle \cos x=0$에서 $\displaystyle x=-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}$$\displaystyle \sin x=-\frac{1}{2}$에서 $\displaystyle x=-\frac{\pi}{6},-\frac{5\pi}{6}$

함수의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

$\displaystyle -\pi\le x\le\pi$에서, 그래프의 개형을 고려하면두 함수 $\displaystyle f(x)=\cos^{2}x-\sin x$와 $\displaystyle y=x$는 한점에서 만난다.따라서 $\displaystyle -\pi\le x\le\pi$에서 방정식 $\displaystyle \cos^{2}x-\sin x-x=0$은 1개의 실근을 갖는다.

[3] 이메일이 스팸메일인 사건을 $\displaystyle A$, 스팸메일이 아닌 사건을 $\displaystyle A^{C}$,이메일에 단어 '계좌'가 들어가 있을 사건을 $\displaystyle B$라고 하면$\displaystyle \mathrm{P}(A)=\frac{1}{4},\ \mathrm{P}(A^{C})=\frac{3}{4},\ \mathrm{P}(B|A)=\frac{4}{5},\ \mathrm{P}(B|A^{C})=\frac{3}{10}$(1) $\displaystyle \mathrm{P}(A^{C}\cap B)=\mathrm{P}(A^{C})\mathrm{P}(B|A^{C})$

$\displaystyle =\frac{3}{4}\times\frac{3}{10}=\frac{9}{40}$

(2) $\displaystyle \mathrm{P}(A\cap B)=\mathrm{P}(A)\mathrm{P}(B|A)=\frac{1}{4}\times\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$이므로$\displaystyle \mathrm{P}(B)=\mathrm{P}(A\cap B)+\mathrm{P}(A^{C}\cap B)$

$\displaystyle =\frac{1}{5}+\frac{9}{40}=\frac{17}{40}$

(3) $\displaystyle \mathrm{P}(A|B)=\frac{\mathrm{P}(A\cap B)}{\mathrm{P}(B)}$

$\displaystyle =\frac{\frac{1}{5}}{\frac{17}{40}}=\frac{8}{17}$

[4] (1) 조건 ( i )에 의해 $\displaystyle f(x)=g(x)+h(x)\ \cdots\cdots\ \text{①}$조건 ( ii )에 의해 $\displaystyle f(-x)=g(-x)+h(-x)=g(x)-h(x)\ \cdots\cdots\ \text{②}$①, ②를 연립하여 $\displaystyle g(x)$와 $\displaystyle h(x)$를 구하면$\displaystyle g(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2},\quad h(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}$따라서 $\displaystyle f(x)=g(x)+h(x)$

$\displaystyle g(-x)=\frac{f(-x)+f(x)}{2}=\frac{f(x)+f(-x)}{2}=g(x)$$\displaystyle h(-x)=\frac{f(-x)-f(x)}{2}=-\frac{f(x)-f(-x)}{2}=-h(x)$

(2) $\displaystyle f(x)=\frac{x}{(x+p)^{2}+1}$라고 하자.조건 ( ii )에 의해 $\displaystyle \int_{-1}^{1}g(x)dx=2\int_{0}^{1}g(x)dx$이고 $\displaystyle \int_{-1}^{1}h(x)dx=0$

그러므로$\displaystyle \begin{aligned}f(x)=g(x)+h(x)&=\frac{1}{2}\left\{\frac{x}{(x+p)^{2}+1}+\frac{-x}{(-x+p)^{2}+1}\right\}+h(x)\\&=\frac{x}{2}\cdot\frac{(-x+p)^{2}+1-(x+p)^{2}-1}{\left\{(x+p)^{2}+1\right\}\left\{(-x+p)^{2}+1\right\}}+h(x)\\&=-2p\frac{x^{2}}{\left\{(x+p)^{2}+1\right\}\left\{(-x+p)^{2}+1\right\}}+h(x)\end{aligned}$

$\displaystyle \int_{-1}^{1}f(x)dx=\int_{-1}^{1}\left\{g(x)+h(x)\right\}dx=2\int_{0}^{1}g(x)dx=-4p\int_{0}^{1}\frac{x^{2}}{\left\{(x+p)^{2}+1\right\}\left\{(-x+p)^{2}+1\right\}}dx$

함수 $\displaystyle \frac{x^{2}}{\left\{(x+p)^{2}+1\right\}\left\{(-x+p)^{2}+1\right\}}$는 구간 $\displaystyle (0,1)$에서 양이므로 정적분 값은 $\displaystyle 0$이 아니다.그러므로 $\displaystyle \int_{-1}^{1}f(x)dx=0$이면 $\displaystyle p=0$이다.