자연계열 2번

[1]

(1) 원의 방정식을 $\displaystyle (x-a)^{2}+(y-a)^{2}=a^{2},~(a>0)$이라고 하면 점 $\displaystyle (a,~ a)$와 직선 $\displaystyle 3 x+4 y-6=0$ 사이의 거리는 반지름 $\displaystyle a$와 같으므로 $\displaystyle \frac{|3 a+4 a-6|}{\sqrt {3^{2}+4^{2}}}=\frac{|7 a-6|}{5}=a$

이 식을 풀면 $\displaystyle a=3$또는 $\displaystyle a=\frac{1}{2}$

(2) 직선 $\displaystyle 3 x+4 y-6=0$의 $\displaystyle x$절편, $\displaystyle y$절편은 각각 $\displaystyle \mathrm{A}(2,~0),~ \mathrm{B} \left (0,~ \frac{3}{2} \right )$선분 $\displaystyle \mathrm{AB}$를 $\displaystyle 1: 2$로 내분하는 점 $\displaystyle \mathrm{P}$의 좌표는 $\displaystyle \left (\frac{1 \times 0+2 \times 2}{1+2},~ \frac{1 \times \frac{3}{2}+2 \times 0}{1+2} \right )= \left (\frac{4}{3},~ \frac{1}{2} \right )$

조건을 만족하는 가장 작은 원의 방정식은 $\displaystyle \left (x-\frac{1}{2} \right )^{2}+ \left (y-\frac{1}{2} \right )^{2}=\frac{1}{4}$점 $\displaystyle \mathrm{P}$에서의 원에 그은 두 접선 중 하나는 직선 $\displaystyle 3 x+4 y-6=0$이고, 원의 중심 $\displaystyle \mathrm{C} \left (\frac{1}{2},~ \frac{1}{2} \right )$과 점 $\displaystyle \mathrm{P} \left (\frac{4}{3},~ \frac{1}{2} \right )$가 $\displaystyle x$축과 평행한 직선 위에 있으므로 선분 $\displaystyle \mathrm{CP}$와 직선 $\displaystyle 3 x+4 y-6=0$가 이루는 예각을 $\displaystyle \alpha$라 하면 삼각형 $\displaystyle \mathrm{OAB}$에서 $\displaystyle {\sin } \alpha =\frac{3}{5},~ {\cos } \alpha =\frac{4}{5}$

점 $\displaystyle \mathrm{P}$에서의 원에 그은 또 다른 접선과 선분 $\displaystyle \mathrm{CP}$가 이루는 각도 $\displaystyle \alpha$이므로 두 접선이 이루는 각 $\displaystyle \theta =2 \alpha$따라서 $\displaystyle {\sin } \theta = {\sin } 2 \alpha =2 {\sin } \alpha {\cos } \alpha =\frac{24}{25}$

[2]

(1) 이차방정식 $\displaystyle x^{2}-x-1=0$의 두 근인 $\displaystyle \alpha =\frac{1+\sqrt {5}}{2}$와 $\displaystyle \beta =\frac{1-\sqrt {5}}{2}$는 다음 식들을 만족한다. $\displaystyle \alpha ^{2}-\alpha -1=0,~ \beta ^{2}-\beta -1=0,~ \alpha -\beta =\sqrt {5}$

이를 이용하면 다음을 얻는다.

$\displaystyle \alpha ^{5}= \left (\alpha ^{2} \right )^{2} \alpha =(\alpha +1)^{2} \alpha =\alpha \left (\alpha ^{2} \right )+2 \alpha ^{2}+\alpha$$\displaystyle ~=\alpha (\alpha +1)+2(\alpha +1)+\alpha =\alpha +1+4 \alpha +2=5 \alpha +3$

$\displaystyle k \left (\alpha ^{5}-\beta ^{5} \right )=k(5 \alpha +3-5 \beta -3)=5 k(\alpha -\beta )=5 k \sqrt {5}=5$

따라서 $\displaystyle k=\dfrac1{\sqrt5}=\dfrac{\sqrt5}5$

(2) $\displaystyle \frac{\alpha ^{n+4}+\beta ^{n+4}}{\alpha ^{n}-\beta ^{n}}=\frac{\alpha ^{4}-\beta ^{4} \left (\frac{\beta }{\alpha } \right )^{n}}{1- \left (\frac{\beta }{\alpha } \right )^{n}}$

$\displaystyle \alpha=\dfrac{1+\sqrt5}2,~\beta=\dfrac{1-\sqrt5}2$이고 $\displaystyle \left|\dfrac\beta\alpha\right|<1$이므로 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\dfrac\beta\alpha\right)^n=0$

따라서 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{\alpha^{n+4}-\beta^{n+4}}{\alpha^n-\beta^n}=\alpha^4$

$\displaystyle \alpha^2-\alpha-1=0$이므로 $\displaystyle \alpha^4=(\alpha+1)^2=\alpha+1+2\alpha+1=3\alpha+2=\dfrac{7+3\sqrt5}2$

[3]

(1) $\displaystyle k>\frac{1}{4}$일 때 $\displaystyle k x^{2}+x+1>0$이므로 $\displaystyle k \ge \frac{1}{2}$에 대하여 함수 $\displaystyle f(x)$는 모든 실수에서 미분가능하다. 함수의 몫의 미분법을 이용하면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{e^{x} x(k x-2 k+1)}{ \left (k x^{2}+x+1 \right )^{2}}$이므로

$\displaystyle f^{\prime}(x)=0$에서 $\displaystyle x=0$또는 $\displaystyle x=2-\frac{1}{k}$

( i ) $\displaystyle k=\frac{1}{2}$일 때, $\displaystyle 2-\frac{1}{k}=0$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{2 x^{2} e^{x}}{ \left (x^{2}+2 x+2 \right )^{2}}$$\displaystyle x=0$의 좌우에서 $\displaystyle f^{\prime}(x)$의 부호가 변하지 않으므로 극값이 없다.

(ii ) $\displaystyle k>\frac{1}{2}$일 때

$\displaystyle f^{\prime}(x)$의 부호를 조사하여 함수 $\displaystyle f(x)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=0$에서 극대이고 극댓값은 1,$\displaystyle x=2-\dfrac1k$에서 극소이고 극솟값은 $\displaystyle \dfrac{e^{2-\frac1k}}{4k-1}$

(2) $\displaystyle y^{\prime}(x)=\dfrac{2x^2e^x}{(x^2+2x+2)^2}\ge0$이므로$\displaystyle y(x)$는 열린구간 $\displaystyle (0,\infty)$에서 증가하고

$\displaystyle y(x)>y(0)=1$

즉 $\displaystyle x>0$에서, $\displaystyle e^x>\dfrac12x^2+x+1>\dfrac12x^2$

그러므로 $\displaystyle 0<\frac{x}{e^{x}}<\frac{2}{x}$이고 $\displaystyle \lim _{x ~\to~ \infty } \frac{2}{x}=0$이므로

함수의 극한의 대소 관계를 이용하면 $\displaystyle \lim _{x ~\to~ \infty } \frac{x}{e^{x}}=0$이다.

(3) $\displaystyle g(0)=0$이므로 극한 $\displaystyle g^{\prime}(0)=\lim _{x ~\to~ 0} \frac{g(x)-g(0)}{x}=\lim _{x ~\to~ 0} \frac{g(x)}{x}$$\displaystyle x<0$일 때, $\displaystyle g(x)=0$이므로

$\displaystyle \lim _{x ~\to~ 0-} \frac{g(x)}{x}=\lim _{x ~\to~ 0-} \frac{0}{x}=0$ $\displaystyle \cdots \cdots$①

$\displaystyle x>0$일 때, $\displaystyle t=\frac{1}{x}$라고 놓으면 $\displaystyle x ~\to~ 0+$일 때 $\displaystyle t ~\to~ \infty$이므로

$\displaystyle \lim _{x ~\to~ 0+} \frac{g(x)}{x}=\lim _{x ~\to~ 0-} \frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x}=\lim _{t ~\to~ \infty } \frac{t}{e^{t}}=0$ $\displaystyle \cdots \cdots$②

따라서 ①과 ②로부터 $\displaystyle g^{\prime}(0)=0$이고 함수 $\displaystyle g(x)$는 $\displaystyle x=0$에서 미분가능하다.