자연계열 1번

[1]

(1) $\displaystyle y= {\sin } (\pi -x)= {\sin } \left\{\pi +(-x) \right\}=- {\sin } (-x)= {\sin } x,~ y= {\sin } \left (\frac{\pi }{2}+x \right )= {\cos } x$이므로 $\displaystyle {\sin } x= {\cos } x$일 때 $\displaystyle \tan x=1$이고, $\displaystyle y$축에 가장 가까운 교점은 $\displaystyle \mathrm{A} \left (\frac{\pi }{4},~ \frac{\sqrt {2}}{2} \right )$

$\displaystyle f(x)= {\sin } x,~ g(x)= {\cos } x$라고 놓으면 $\displaystyle f^{\prime}(x)= {\cos } x,~ g^{\prime}(x)=- {\sin } x$이므로

$\displaystyle f^{\prime} \left (\frac{\pi }{4} \right )=\frac{\sqrt {2}}{2},~ g^{\prime} \left (\frac{\pi }{4} \right )=-\frac{\sqrt {2}}{2}$

곡선 $\displaystyle y= {\cos } x$위의 점 $\displaystyle \mathrm{A}$에서 접선은 $\displaystyle y-\frac{\sqrt {2}}{2}=-\frac{\sqrt {2}}{2} \left (x-\frac{\pi }{4} \right )$이고, $\displaystyle y$절편은 $\displaystyle \frac{\sqrt {2}(4+\pi )}{8} \cdots \cdots$①

곡선 $\displaystyle y=\sin x$위의 점 A에서 접선은 $\displaystyle y-\dfrac{\sqrt2}2=\dfrac{\sqrt2}2\left(x-\dfrac\pi4\right)$이고, $\displaystyle y$절편은 $\displaystyle \dfrac{\sqrt2(4-\pi)}8$ ⋯⋯②

①에서 ②를 빼면 변 $\displaystyle \mathrm{BC}$의 길이는 $\displaystyle \overline{BC}=\frac{\sqrt {2} \pi }{4} ~ \cdots \cdots$③

따라서 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt {2} \pi }{4} \times \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt {2} \pi ^{2}}{32}$

(2) 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$에서 변 $\displaystyle \mathrm{BC},~ \mathrm{AC},~ \mathrm{AB}$의 길이를 각각 $\displaystyle a,~ b,~ c$라고 하면

③에서 $\displaystyle a=\frac{\sqrt {2} \pi }{4}$이고, 변의 길이를 구하면 $\displaystyle b=\frac{\sqrt {6} \pi }{8},~ c=\frac{\sqrt {6} \pi }{8}$

코사인법칙을 이용하여 $\displaystyle {\cos } A$를 구하면 $\displaystyle {\cos } A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}=\frac{1}{3}$

$\displaystyle {\sin } ^{2} A+ {\cos } ^{2} A=1$이고 $\displaystyle A$는 삼각형의 한 각의 크기이므로 $\displaystyle {\sin } A=\sqrt {1- {\cos } ^{2} A}=\frac{2 \sqrt {2}}{3}$

사인법칙을 이용하여 삼각형 $\displaystyle \mathrm{ABC}$에서 외접원의 반지름 $\displaystyle R$을 구하면

$\displaystyle R=\frac{a}{2 {\sin } A}=\frac{\frac{\sqrt {2} \pi }{4}}{\frac{4 \sqrt {2}}{3}}=\frac{3 \pi }{16}$

[2]

(1) (i) $\displaystyle n=1$일 때 (좌변)$\displaystyle =1!=1$, (우변)$\displaystyle =2^0=1$

이므로 $\displaystyle n=1$일 때 주어진 부등식이 성립한다.

( ii ) $\displaystyle n=k$일 때 주어진 부등식이 성립한다고 가정하면

$\displaystyle k ! \ge 2^{k-1}$ $\displaystyle \cdots \cdots$① 이므로

①의 양변에 $\displaystyle k+1$을 곱하면 $\displaystyle k \ge 1$이므로 $\displaystyle (k+1) ! =k !(k+1) \ge 2^{k-1}(k+1) \ge 2^{k-1} 2=2^{k}$

따라서 $\displaystyle n=k+1$일 때에도 주어진 부등식이 성립한다.

그러므로 주어진 부등식은 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 성립한다.

(2) (1)의 부등식을 이용하면 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여

$\displaystyle a_{n}=1+\frac{1}{2 !}+\frac{1}{3 !}+ \cdots +\frac{1}{n !} \le 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+ \cdots +\frac{1}{2^{n-1}}$ $\displaystyle \cdots \cdots$②

②의 등비수열의 항은 양수이므로

$\displaystyle 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+ \cdots +\frac{1}{2^{n-1}}<\sum _{n=0}^{\infty } \frac{1}{2^{n}}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$ $\displaystyle \cdots \cdots$③

②와 ③으로부터 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 $\displaystyle 1 \le a_{n}<2$

따라서 $\displaystyle -2023 \le a_{2024}-2024< -2022$이므로 $\displaystyle m=-2023$이다.

[3]

(1) $\displaystyle f(x)$의 역함수가 존재하려면 함수 $\displaystyle f(x)$는 일대일대응이어야 한다.

$\displaystyle \lim _{x \to \infty } f(x)=\infty$이므로 $\displaystyle f(x)$는 증가함수이어야 한다.

$\displaystyle g(x)=f^{\prime}(x)$라고 놓으면 $\displaystyle g(x)=e^{x+1} \left\{x^{2}+(n+2) x+1 \right\}+k$

$\displaystyle \lim _{x \to \infty } x^{2} e^{x}=\lim _{x \to \infty } x e^{x}=\lim _{x \to \infty } e^{x}=\infty$이므로 $\displaystyle \lim _{x \to \infty } g(x)=\infty$

$\displaystyle x=-t$라고 놓으면 $\displaystyle \lim _{x \to -\infty } x^{2} e^{x}=\lim _{t \to \infty } \frac{t^{2}}{e^{t}}=0$이고, 같은 방법으로 $\displaystyle \lim _{x \to -\infty } x e^{x}=0$이므로 $\displaystyle \lim _{x \to -\infty } g(x)=k$

$\displaystyle g^{\prime}(x)=e^{x+1} \left\{x^{2}+(n+4) x+n+3 \right\}=e^{x+1}(x+1)(x+n+3)$이므로

$\displaystyle g^{\prime}(x)=0$에서 $\displaystyle x=-n-3$또는 $\displaystyle x=-1$

함수 $\displaystyle g(x)$의 증가와 감소를 나타내는 표를 만들면 다음과 같다.

$\displaystyle x=-1$에서 $\displaystyle g(x)$는 최솟값을 갖는다.

$\displaystyle g(-1)=-n+k \ge 0$이면 $\displaystyle f^{\prime}(x)=g(x) \ge 0$(등호는 $\displaystyle x=-1$일 때만 성립)

이므로 $\displaystyle f(x)$는 증가함수다.

따라서 $\displaystyle f(x)$의 역함수가 존재하는 범위는 $\displaystyle k \ge n$이고, 실수 $\displaystyle k$의 최솟값은 $\displaystyle a_{n}=n$

(2) 주어진 급수의 $\displaystyle n$항까지의 부분합을 $\displaystyle S_{n}$이라고 하자.

$\displaystyle \frac{1}{a_{n} \left (a_{n}+1 \right ) \left (a_{n}+2 \right )}=\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2} \left\{\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)} \right\}$이므로

$\displaystyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n} \frac{1}{2} \left\{\frac{1}{k(k+1)}-\frac{1}{(k+1)(k+2)} \right\}=\frac{1}{2} \left\{\frac{1}{2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)} \right\}$

따라서 $\displaystyle \lim _{n \to \infty } S_{n}=\lim _{n \to \infty } \left\{\frac{1}{4}-\frac{1}{2(n+1)(n+2)} \right\}=\frac{1}{4}$이므로

주어진 급수는 수렴하고 그 합은 $\displaystyle \frac{1}{4}$

[4] 조건 (가)에서 진수 조건과 이차방정식이라는 사실로부터

$\displaystyle k>0,~ {\ln } k-1 \ne 0$, 즉 $\displaystyle 0<k,~ k \ne e$ $\displaystyle \cdots \cdots$①

이차방정식은 실근을 가지므로 판별식 $\displaystyle D=4( {\ln } k-1)^{2}-4( {\ln } k-1)=4( {\ln } k-1)( {\ln } k-2) \ge 0$으로부터

$\displaystyle {\ln } k \le 1,~2 \le {\ln } k$즉, $\displaystyle k \le e,~ e^{2} \le k$ $\displaystyle \cdots \cdots$②

①과 ②로부터 $\displaystyle 0<k<e,~ e^{2} \le k$ $\displaystyle \cdots \cdots$③

조건 (나)의 부등식에서 $\displaystyle \frac{\pi }{2 e} k-\frac{\pi }{4}=t$로 놓으면

$\displaystyle -\frac{e}{2} \le k \le \frac{3 e}{2}$이므로 $\displaystyle -\frac{\pi }{2} \le t \le \frac{\pi }{2}$

부등식 $\displaystyle 2 {\sin } ^{2} t-1=(\sqrt {2} {\sin } t-1)(\sqrt {2} {\sin } t+1) \le 0 ~\Leftrightarrow ~-\frac{1}{\sqrt {2}} \le {\sin } t \le \frac{1}{\sqrt {2}}$

을 풀면 $\displaystyle -\frac{\pi }{4} \le t \le \frac{\pi }{4}$이고 $\displaystyle -\frac{\pi }{4} \le \frac{\pi }{2 e} k-\frac{\pi }{4} \le \frac{\pi }{4}$로부터

$\displaystyle 0 \le k \le e$ $\displaystyle \cdots \cdots$④

따라서 ③과 ④로부터 $\displaystyle k$의 범위는 $\displaystyle 0<k<e$