자연계열 2번

[1]

(1) (i) $\displaystyle |x|<1\,(\Leftrightarrow|x^2|<1),~x\ne0$일 때,$\displaystyle\lim_{n\to\infty}x^{2n}=0$이므로 $\displaystyle f(x)=x\ln|x|$는 연속이다.

( ii ) $\displaystyle |x|>1 \left ( ~\Leftrightarrow ~ \left |x^{2} \right |>1 \right )$일 때,

$\displaystyle \lim _{n \to \infty } x^{2 n}=\infty$이므로 $\displaystyle f(x)=\lim _{n \to \infty } \frac{ \left (\frac{x}{x^{2 n}}+1 \right ) {\ln } |x|}{1+\frac{1}{x^{2 n}}}= {\ln } |x|$는 연속이다.

(iii) $\displaystyle x=-1,~0,~1$일 때, $\displaystyle f(-1)=f(0)=f(1)=0$

(i), (ii), (iii)으로부터$\displaystyle f(x)=\begin{cases}x\ln|x|&(|x|<1,~x\ne0)\\\ln|x|&(|x|>1)\\0&(x=-1,~0,~1)\end{cases}$

(iv) $\displaystyle x=-1,~1$에서 연속성을 조사하자.

$\displaystyle \lim _{x \to -1-} {\ln } |x|=\lim _{x \to -1+} x {\ln } |x|=0=f(-1)$이므로 $\displaystyle x=-1$에서 함수 $\displaystyle f(x)$는 연속이다.

$\displaystyle \lim _{x \to 1-} x {\ln } |x|=\lim _{x \to 1+} {\ln } |x|=0=f(1)$이므로 $\displaystyle x=1$에서 함수 $\displaystyle f(x)$는 연속이다.

(v) $\displaystyle x=0$에서 연속성을 조사하자.

$\displaystyle {\ln } x=t$라고 놓으면 $\displaystyle \lim _{x \to 0+} x {\ln } |x|=\lim _{t \to -\infty } t e^{t} \cdots \cdots$①

①에서 $\displaystyle t=-p$라고 놓으면 $\displaystyle \lim _{t \to -\infty } t e^{t}=-\lim _{p \to \infty } \frac{p}{e^{p}}=0=f(0)$

$\displaystyle {\ln } (-x)=t$라고 놓으면 $\displaystyle \lim _{x \to 0-} x {\ln } |x|=\lim _{t \to -\infty } \left (-t e^{t} \right ) \cdots \cdots$②

②에서 $\displaystyle t=-p$라고 놓으면 $\displaystyle \lim _{t \to -\infty } \left (-t e^{t} \right )=\lim _{p \to \infty } \frac{p}{e^{p}}=0=f(0)$

따라서 $\displaystyle x=0$에서 함수 $\displaystyle f(x)$는 연속이다.

( i ), ( ii ), (iv), ( v )로부터 함수 $\displaystyle f(x)$는 모든 실수에서 연속이다.

(2)

$\displaystyle \lim _{h \to 0+} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim _{h \to 0+} \frac{ {\ln } (1+h)}{h}=\lim _{h \to 0+} {\ln } (1+h)^{\frac{1}{h}}= {\ln } e=1$

$\displaystyle \lim _{h \to 0-} \frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\lim _{h \to 0-} \frac{(1+h) {\ln } (1+h)}{h}=\lim _{h \to 0-}(1+h) {\ln } (1+h)^{\frac{1}{h}}=1 \cdot {\ln } e=1$

좌미분계수와 우미분계수가 같으므로 함수 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=1$에서 미분가능하다.

(3)

$\displaystyle \begin{aligned}\int_{\frac1e}^ef(x)dx&=\int_{\frac1e}^1x\ln x\,dx+\int_1^e\ln x\,dx\\&=\Biggl[\dfrac12x^2\ln x\Biggr]_{\frac1e}^1-\dfrac12\int_{\frac1e}^1x\,dx+\Biggl[x\ln x-x\Biggr]_1^e\\&=\dfrac1{2e^2}-\dfrac14+\dfrac1{4e^2}+e-e+1=\dfrac34+\dfrac3{4e^2}\end{aligned}$

[2]

조건 (다)에서 $\displaystyle f(x)$를 $\displaystyle x^{2}$으로 나누었을 때의 몫을 $\displaystyle Q(x)$, 나머지를 $\displaystyle R(x)=a x+b$라고 하면 $\displaystyle f(x)=x^{2} Q(x)+a x+b$ $\displaystyle \cdots \cdots$①

조건 (가)에서 $\displaystyle g^{-1}(e)=0$이므로 $\displaystyle f(0)=b=\pi$

조건 (나)에서 $\displaystyle (f\circ g^{-1})^{\prime}(e)=f^{\prime}(g^{-1}(e))(g^{-1})^{\prime}(e)=f^{\prime}(0)\dfrac1{g^{\prime}(0)}$ ⋯⋯②

$\displaystyle g^{\prime}(0)=e$이고, ①로부터 $\displaystyle f^{\prime}(x)=2 x Q(x)+x^{2} Q^{\prime}(x)+a$이므로 $\displaystyle f^{\prime}(0)=a$

이것들을 ②에 대입하면 $\displaystyle (f\circ g^{-1})^{\prime}(e)=\dfrac ae=1$ 즉, $\displaystyle a=e$

따라서 $\displaystyle R(x)=e x+\pi$

[3]

(1) 어떤 시행(대국)에서 사건 $\displaystyle \mathrm{A}$(바둑기사가 승리)의 확률이 $\displaystyle \frac{3}{4}$일 때, 이 시행을 $\displaystyle n$번 반복하는 독립시행에서 사건 $\displaystyle \mathrm{A}$가 $\displaystyle k$번 일어날 확률 $\displaystyle P_{k}$는 독립시행의 확률이다.

$\displaystyle P_{k}={ }_{n} \mathrm{C}_{k} \left (\frac{3}{4} \right )^{k} \left (\frac{1}{4} \right )^{n-k}$

(2) $\displaystyle f(x)=4^{n} \sum _{k=0}^{n}{ }_{n} \mathrm{C}_{k} \left (\frac{3}{4} \right )^{k} \left (\frac{1}{4} \right )^{n-k} x^{k+1}=\sum _{k=0}^{n}{ }_{n} \mathrm{C}_{k}(3 x)^{k} x=(1+3 x)^{n} x$

$\displaystyle f^{\prime}(x)=3 n(1+3 x)^{n-1} x+(1+3 x)^{n}=(1+3 x)^{n-1}(3 n x+1+3 x)$

따라서 $\displaystyle f^{\prime}(1)=2^{2 n-2}(3 n+4)$

(3) $\displaystyle \sum _{n=1}^{p} \left (4^{n} \sum _{k=0}^{n} P_{k} x^{k+1} \right )=\sum _{n=1}^{p}(1+3 x)^{n} x$

$\displaystyle =(1+3 x) x+(1+3 x)^{2} x+ \cdots \cdots +(1+3 x)^{p} x=\frac{(1+3 x) x \left\{(1+3 x)^{p}-1 \right\}}{(1+3 x)-1}$

$\displaystyle =\dfrac13(1+3x)^{p+1}-\dfrac13(1+3x)$다항식에서 $\displaystyle x^2$의 항을 구하면 $\displaystyle \dfrac{{}_{p+1}\mathrm C_2(3x)^2}3$따라서 $\displaystyle x^2$의 계수는 $\displaystyle \dfrac{3(p+1)p}2$