자연계열 1번

[1] (1) $\displaystyle 9$개의 서로 다른 문자를 배열하는 경우의 수는 $\displaystyle { }_{9} \mathrm P_{9}=9!$이다.

W, N, O가 $\displaystyle 2$개씩 있어서 같은 문자끼리 자리를 바꾸는 것은 동일한 문자열로 간주되기 때문에 이들 문자 각각에 의해 만들어지는 배열의 경우의 수인 $\displaystyle {}_{2} \mathrm P _{2} =2!$로 나누어주어야 한다.

따라서 $\displaystyle 2$개씩 같은 문자 $\displaystyle 3$개를 포함하는 $\displaystyle 9$개의 문자를 배열하여 만들어지는 문자열에 대한 경우의 수는 $\displaystyle \frac{{}_{9} \mathrm P _{9}}{{}_{2} \mathrm P _{2} \times _{2} \mathrm P _{2} \times _{2} \mathrm P _{2}} = \frac{9!}{2! \times 2! \times 2!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 2 \times 2} =45,360$이다.

(2) K와 G 사이에 $\displaystyle 3$개의 문자가 있는 경우는 $\displaystyle \mathrm{K} \square \square \square \mathrm{G}$와 $\displaystyle \mathrm{G} \square \square \square \mathrm{K}$ 배열의 문자열이 있는 경우이고, 각 경우의 수는 동일하다.

( i ) $\displaystyle \mathrm{K} \square \square \square \mathrm{G}$인 경우 W, W, N, N, O, O, A를 서로 다른 문자라고 생각하고, 그 중에서 $\displaystyle 3$개를 선택하여 K와 G 사이에 배치하는 경우의 수는 $\displaystyle { }_{7} \mathrm P_{3}=\frac{7!}{(7-3)!}=210$이다.

그 다음에 $\displaystyle \mathrm{K} \square \square \square \mathrm{G}$을 하나의 문자라고 생각하고, 나머지 $\displaystyle 4$개의 문자와 합쳐 총 $\displaystyle 5(=1+4)$개의 문자를 배열하는 경우의 수는 $\displaystyle { }_{5} \mathrm P_{5}=5! =120$이다.

그런데, W, W, N, N, O, O, A는 서로 다른 문자가 아니고, W, N, O가 각각 $\displaystyle 2$개씩 있다.

따라서, 앞에서 구한 결과에서 같은 문자끼리 자리를 바꾸는 것은 동일한 문자열로 간주되기 때문에 $\displaystyle { }_{2} \mathrm P_{2}=2! =2$로 나누어주어야 한다.

그러므로, 구하고자 하는 경우의 수는 $\displaystyle \frac{{}_{7} \mathrm P _{3} \times _{5} \mathrm P _{5}}{{}_{2} \mathrm P _{2} \times _{2} \mathrm P _{2} \times _{2} \mathrm P _{2}} = \frac{210 \times 120}{2! \times 2! \times 2!} =3,150$이다.

( ii ) $\displaystyle \mathrm{G} \square \square \square \mathrm{K}$인 경우도 같은 방법으로 경우의 수는 $\displaystyle 3,150$이다.

그러므로, K와 G 사이에 $\displaystyle 3$개의 문자가 있는 경우의 수는 $\displaystyle 6,300(=2 \times 3,150)$이다.

(3) KWANGWOON의 문자를 알파벳순으로 나열하면 $\displaystyle A,~G,~K,~N,~N,~O,~O,~W$, W와 같다.

A 로 시작하는 문자열의 총 개수: $\displaystyle \frac{{}_{8} \mathrm P _{8}}{{}_{2} \mathrm P _{2} \times _{2} \mathrm P _{2} \times _{2} \mathrm P _{2}} = \frac{8!}{2! \times 2! \times 2!} =5,040$

G 로 시작하는 문자열의 총 개수: $\displaystyle \frac{{}_{8} \mathrm P _{8}}{{}_{2} \mathrm P _{2} \times _{2} \mathrm P _{2} \times _{2} \mathrm P _{2}} = \frac{8!}{2! \times 2! \times 2!} =5,040$

KA 로 시작하는 문자열의 총 개수: $\displaystyle \frac{{ }_{7} \mathrm P_{7}}{{ }_{2} \mathrm P_{2} \times { }_{2} \mathrm P_{2} \times { }_{2} \mathrm P_{2}}=\frac{7!}{2!\times 2!\times 2!}=630$

KG 로 시작하는 문자열의 총 개수: $\displaystyle \frac{{ }_{7} \mathrm P_{7}}{{ }_{2} \mathrm P_{2} \times { }_{2} \mathrm P_{2} \times { }_{2} \mathrm P_{2}}=\frac{7!}{2!\times 2!\times 2!}=630$

KN 로 시작하는 문자열의 총 개수: $\displaystyle \frac{{}_{7} \mathrm P _{7}}{{}_{2} \mathrm P _{2} \times _{2} \mathrm P _{2}} = \frac{7!}{2! \times 2!} =1,260$

KO로 시작하는 문자열의 총 개수: $\displaystyle \frac{{}_{7} \mathrm P _{7}}{{}_{2} \mathrm P _{2} \times _{2} \mathrm P _{2}} = \frac{7!}{2! \times 2!} =1,260$

KWAG로 시작하는 문자열의 총 개수: $\displaystyle \frac{{ }_{5} \mathrm P_{5}}{{ }_{2} \mathrm P_{2} \times { }_{2} \mathrm P_{2}}=\frac{5!}{2!\times 2!}=30$

KWANGN로 시작하는 문자열의 총 개수: $\displaystyle \frac{{ }_{3} \mathrm P_{3}}{{ }_{2} \mathrm P_{2}}=\frac{3!}{2!}=3$

KWANGO로 시작하는 문자열의 총 개수: $\displaystyle { }_{3} \mathrm P_{3}=3! =6$

KWANGWN로 시작하는 문자열의 총 개수: $\displaystyle \frac{{ }_{2} \mathrm P_{2}}{{ }_{2} \mathrm P_{2}}=\frac{2!}{2!}=1$

KWANGWON로 시작하는 문자열의 총 개수: $\displaystyle { }_{1} \mathrm P_{1}=1! =1$

KWANGWOON의 순서 $\displaystyle =5040 \times 2+630 \times 2+1260 \times 2+30+3+6+1+1+1=(5040+630+1260) \times 2+42 =13902$

[2] (1) 이차방정식 $\displaystyle x^{2}-n x-n^{3}-3 n^{2}-2 n=0$의 근과 계수의 관계에 의하여

$\displaystyle a_{n}+b_{n}=n$이고, $\displaystyle a_{n} b_{n}=-n^{3}-3 n^{2}-2 n$이다.

$\displaystyle \begin{aligned}a_{n}^{2}+b_{n}^{2} & = \left (a_{n}+b_{n} \right )^{2}-2 a_{n} b_{n} \\ & =n^{2}-2 \left (-n^{3}-3 n^{2}-2 n \right ) \\ & =2 n^{3}+7 n^{2}+4 n\end{aligned}$

$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{n=1}^5(a_n^2+b_n^2)&=\sum_{n=1}^5(2n^3+7n^2+4n)\\&=2\sum_{n=1}^5n^3+7\sum_{n=1}^5n^2+4\sum_{n=1}^5n\end{aligned}$

$\displaystyle =2 \times \left\{\frac{5(5+1)}{2} \right\}^{2}+7 \times \frac{5(5+1)(2 \times 5+1)}{6}+4 \times \frac{5(5+1)}{2} =450+385+60=895$

(2) 이차방정식 $\displaystyle x^{2}-n x-n^{3}-3 n^{2}-2 n=0$의 근과 계수의 관계에 의하여

$\displaystyle a _{n } +b _{n } =n$이고, $\displaystyle a _{n} b _{n} =-n ^{3} -3n ^{2} -2n$이다.

$\displaystyle \begin{aligned}\frac{1}{a _{n}} + \frac{1}{b _{n}} = \frac{a _{n} +b _{n}}{a _{n} b _{n}} = \frac{n}{-n ^{3} -3n ^{2} -2n} = \frac{n}{-n \left ( n ^{2} +3n+2 \right )} =- \frac{1}{(n+1)(n+2)}\\\end{aligned}$

$\displaystyle =- \left ( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right ) = \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+1}$

$\displaystyle \begin{aligned}\sum _{n=1} ^{2024} \left ( \frac{1}{a _{n}} + \frac{1}{b _{n}} \right ) = \sum _{n=1} ^{2024} \left ( \frac{1}{n+2} - \frac{1}{n+1} \right ) = \left ( \frac{1}{1+2} - \frac{1}{1+1} \right ) + \left ( \frac{1}{2+2} - \frac{1}{2+1} \right ) + \cdots + \left ( \frac{1}{2024+2} - \frac{1}{2024+1} \right )\\\end{aligned}$

$\displaystyle =- \frac{1}{1+1} + \frac{1}{2024+2} = \frac{1}{2026} - \frac{1}{2} = \frac{1-1013}{2026} =- \frac{1012}{2026}=- \frac{506}{1013}$

(3) $\displaystyle \begin{aligned}y&=x^2-nx-n^3-3n^2-2n\\&=x^2-2\times\dfrac n2x+\left(\dfrac n2\right)^2-\left(\dfrac n2\right)^2-n^3-3n^2-2n\end{aligned}$

$\displaystyle = \left (x-\frac{n}{2} \right )^{2}-\frac{1}{4} n^{2}-n^{3}-\frac{12}{4} n^{2}-2 n = \left (x-\frac{n}{2} \right )^{2}-n^{3}-\frac{13}{4} n^{2}-2 n$

그러므로, $\displaystyle x=\frac{n}{2}$일 때, 최솟값은 $\displaystyle -n^{3}-\frac{13}{4} n^{2}-2 n$이다.