자연계열 2번

[1]

( i ) $\displaystyle n=1$일 때, (좌변) $\displaystyle =\lim _{x \to 0} \frac{ \sin x}{ \sin x}=1$, (우변) $\displaystyle =1$

( ii ) $\displaystyle n=k$일 때, 주어진 식이 성립한다고 가정하면 $\displaystyle \lim _{x \to 0} \frac{ \sin k x}{ \sin x}=k$

가정과 삼각함수의 덧셈정리를 이용하면

$\displaystyle \lim _{x \to 0} \frac{ \sin (k+1) x}{ \sin x}=\lim _{x \to 0} \frac{ \sin k x \cos x+ \cos k x \sin x}{ \sin x}=\lim _{x \to 0} \frac{ \sin k x}{ \sin x} \times \lim _{x \to 0} \cos x+\lim _{x \to 0} \cos k x=k \cdot 1+1=k+1$

따라서 $\displaystyle n=k+1$일 때에도 주어진 식이 성립한다.

( i ), ( ii )로부터 주어진 식은 모든 자연수 $\displaystyle n$에 대하여 성립한다.

[2] 점 $\displaystyle (a,0)$이 곡선 $\displaystyle x^3-y^3=\sin xy+1$ 위의 점이므로

$\displaystyle a^3=1,~(a-1)(a^2+a+1)=0,~a$는 실수이므로따라서 $\displaystyle a=1$

$\displaystyle x^3-y^3=\sin xy+1$의 양변을 $\displaystyle x$에 대하여 미분하면$\displaystyle 3x^2-3y^2\dfrac{dy}{dx}=\cos xy\left(y+x\dfrac{dy}{dx}\right)$

따라서 $\displaystyle \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3x^2-y\cos xy}{3y^2+x\cos xy}$점 $\displaystyle (1,0)$에서의 접선의 기울기는 $\displaystyle b=3$

따라서 $\displaystyle a+b=4$

[3] $\displaystyle g(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^{2024}{}_{2024}\mathrm C_k\left(\dfrac14\right)^k\left(\dfrac34\right)^{2024-k}e^{\frac{kx}2}=\sum_{k=0}^{2024}{}_{2024}\mathrm C_k\left(\dfrac14e^{\frac x2}\right)^k\left(\dfrac34\right)^{2024-k}=\left(\dfrac14e^{\frac x2}+\dfrac34\right)^{2024}$

$\displaystyle g^{\prime}(x)=2024\left(\dfrac14e^{\frac x2}+\dfrac34\right)^{2023}\dfrac18e^{\frac x2}$

$\displaystyle \dfrac{g^{\prime}(x)}{g(x)}=253\dfrac{e^{\frac x2}}{\frac14e^{\frac x2}+\frac34}=253$이므로 $\displaystyle e^{\frac x2}=\dfrac14e^{\frac x2}+\dfrac34$이고 $\displaystyle x=0$

따라서 $\displaystyle a=0$

접점은 $\displaystyle (a,~ g(a))=(0,~1)$이고 접선의 기울기는 $\displaystyle g^{\prime}(0)=253 \cdot g(0)=253$

따라서 구하고자 하는 접선의 방정식은 $\displaystyle y=253 x+1$

[4] (1) ( i ) $\displaystyle \lim _{h \to 0+} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim _{h \to 0+} \frac{h^{2} \sin \frac{1}{h}-0}{h}=\lim _{h \to 0+} h \sin \frac{1}{h}$

$\displaystyle -1 \le \sin \frac{1}{h} \le 1$이고 $\displaystyle h>0$이면 $\displaystyle -h \le h \sin \frac{1}{h} \le h$이다.

이 부등식에 $\displaystyle h \to 0+$과 함수의 극한의 대소 관계를 적용하면 다음을 얻는다.

$\displaystyle \lim _{h \to 0+} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim _{h \to 0+} h \sin \frac{1}{h}=0$

( ii ) $\displaystyle \lim _{h \to 0-} \frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim _{h \to 0-} \frac{\sqrt {-h^{3}}-0}{h}=\lim _{h \to 0-} \frac{\sqrt {(-h)^{3}}}{-\sqrt {(-h)^{2}}}=\lim _{h \to 0-}(-\sqrt {-h})=0$

( i )과 ( ii )로부터 $\displaystyle f^{\prime}(0)=0$

(2) $\displaystyle x>0$일 때, $\displaystyle f^{\prime}(x)=2 x \sin \frac{1}{x}- \cos \frac{1}{x}$

$\displaystyle x<0$일 때, $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{d}{d x}(-x)^{\frac{3}{2}}=-\frac{3}{2}(-x)^{\frac{1}{2}}$

$\displaystyle x=0$일 때, (1)의 결과로부터 $\displaystyle f^{\prime}(0)=0$

따라서 다음을 얻는다.

$\displaystyle f^{\prime}(x)=\begin{cases}2x\sin\dfrac1x-\cos\dfrac1x&(x>0)\\0&(x=0)\\-\dfrac32(-x)^{\frac12}&(x<0)\end{cases}$

$\displaystyle \lim _{x \to 0+} f^{\prime}(x)=\lim _{x \to 0+} \left (2 x \sin \frac{1}{x}- \cos \frac{1}{x} \right )$에서

$\displaystyle \lim _{x \to 0+} \cos \frac{1}{\mathrm{x}}$의 값이 존재하지 않으므로 $\displaystyle \lim _{x \to 0+} f^{\prime}(x)$과 $\displaystyle \lim _{x \to 0} f^{\prime}(x)$은 존재하지 않는다.

따라서 $\displaystyle x=0$에서 함수 $\displaystyle f^{\prime}(x)$는 불연속이다.

(3)

$\displaystyle \int _{\frac{2}{\pi }} ^{\frac{6}{\pi }} {} \frac{f(x)}{x ^{5}} dx= \int _{\frac{2}{\pi }} ^{\frac{6}{\pi }} {} \frac{1}{x ^{3}} \sin \frac{1}{x} dx$

$\displaystyle \dfrac1x=t$로 놓으면 $\displaystyle dx=-\dfrac{dt}{t^2}$이고

$\displaystyle x=\dfrac2\pi$일 때 $\displaystyle t=\dfrac\pi2$, $\displaystyle x=\dfrac6\pi$일 때 $\displaystyle t=\dfrac\pi6$이므로

$\displaystyle \int _{\frac{2}{\pi }} ^{\frac{6}{\pi }} {} \frac{1}{x ^{3}} \sin \frac{1}{x} dx=- \int _{\frac{\pi }{2}} ^{\frac{\pi }{6}} {} t \sin tdt= \int _{\frac{\pi }{6}} ^{\frac{\pi }{2}} {} t \sin tdt=\Biggl[-t \cos t\Biggr] _{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} +\Biggl[ \sin t\Biggr] _{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}} = \frac{\pi \sqrt {3} +6}{12}$