자연계열 1번

[1] 두 직선 $\displaystyle y=3 x$와 $\displaystyle y=m x+2$의 교점을 $\displaystyle \mathrm{P} \left (\frac{2}{3-m},~ \frac{6}{3-m} \right ),~ m \ne 3$

두 직선 $\displaystyle y=-\frac{1}{3} x$와 $\displaystyle y=m x+2$의 교점을 $\displaystyle \mathrm{Q} \left (\frac{-6}{1+3 m},~ \frac{2}{1+3 m} \right ),~ m \ne -\frac{1}{3}$

$\displaystyle y=3 x$와 $\displaystyle y=-\frac{1}{3} x$가 수직이므로 주어진 도형이 이등변삼각형이면 $\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}=\overline{\mathrm{OQ}}$

$\displaystyle \overline{\mathrm{OP}}=\frac{2 \sqrt {10}}{|3-m|},~ \overline{\mathrm{OQ}}=\frac{2 \sqrt {10}}{|1+3 m|}$

이므로 $\displaystyle |3-m|=|1+3 m| \Rightarrow m=\frac{1}{2} ~(\because m>0)$

이등변삼각형 $\displaystyle \mathrm{OPQ}$ 의 넓이를 $\displaystyle S$라고 하면

$\displaystyle S=\frac{1}{2} \times \overline{\mathrm{OP}} \times \overline{\mathrm{OQ}}=\frac{1}{2} \cdot \frac{4 \sqrt {10}}{5} \cdot \frac{4 \sqrt {10}}{5}=\frac{16}{5}$

[2] $\displaystyle (1+x)^{n}$을 전개하면 $\displaystyle (1+x)^{n}={ }_{n} \mathrm{C}_{0}+{ }_{n} \mathrm{C}_{1} x+{ }_{n} \mathrm{C}_{2} x^{2}+ \cdots +{ }_{n} \mathrm{C}_{r} x^{r}+ \cdots +{ }_{n} \mathrm{C}_{n} x^{n}$ ⋯⋯①

$\displaystyle x=1$을 대입하면 $\displaystyle 2^{n}=\sum _{k=0}^{n}{ }_{n} \mathrm{C}_{k}$ ⋯⋯②

①의 양변을 미분하면

$\displaystyle n(1+x)^{n-1}={ }_{n} \mathrm{C}_{1}+2{ }_{n} \mathrm{C}_{2} x+ \cdots +r_{n} \mathrm{C}_{r} x^{r-1}+ \cdots +n{}_{n} \mathrm{C}_{n} x^{n-1}=\sum _{k=0}^{n} \left (k_{n} \mathrm{C}_{k} \right ) x^{k-1}$

$\displaystyle x=1$을 대입하면 $\displaystyle n \cdot 2^{n-1}=\sum _{k=0}^{n} \left (k_{n} \mathrm{C}_{k} \right )$ ⋯⋯③

①의 양변을 $\displaystyle 0$에서 $\displaystyle 1$까지 적분하면

$\displaystyle \frac{2^{n+1}-1}{n+1}={ }_{n} \mathrm{C}_{0}+\frac{{ }_{n} \mathrm{C}_{1}}{2}+\frac{{ }_{n} \mathrm{C}_{2}}{3}+ \cdots +\frac{{ }_{n} \mathrm{C}_{r}}{r+1}+ \cdots +\frac{{ }_{n} \mathrm{C}_{n}}{n+1}=\sum _{k=0}^{n} \frac{{ }_{n} \mathrm{C}_{k}}{k+1}$ ⋯⋯④

②, ③, ④로부터

$\displaystyle \begin{aligned}\sum_{k=0}^n\dfrac{4k^2+2k-1}{k+1}{}_n\mathrm C_k&=\sum_{k=0}^n\left(4k-2+\dfrac1{k+1}\right){}_n\mathrm C_k\\&=4\sum_{k=0}^n(k{}_n\mathrm C_k)-2\sum_{k=0}^n{}_n\mathrm C_k+\sum_{k=0}^n\dfrac{{}_n\mathrm C_k}{k+1}\\&=n\cdot2^{n+1}-2^{n+1}+\dfrac{2^{n+1}-1}{n+1}\\&=\dfrac{n^2\cdot2^{n+1}-1}{n+1}\end{aligned}$

따라서 $\displaystyle a_{n}=n^{2} \cdot 2^{n+1}-1$

[3] $\displaystyle \cos \left (x+\frac{\pi }{2} \right )=- \sin x,~ \cos (x+\pi )=- \cos x,~ \sin ^{2} x=1- \cos ^{2} x$이므로

$\displaystyle f(x)= \sin ^{2} x+2 a \cos x-1$$\displaystyle =- \cos ^{2} x+2 a \cos x$

$\displaystyle \cos x=t,~ ~ f(x)=g(t)$로 놓으면 $\displaystyle -1 \le t \le 1$이고

$\displaystyle g(t)=-t^{2}+2 a t=-(t-a)^{2}+a^{2} ~(-1 \le t \le 1)$

($\displaystyle \mathrm{i}$) $\displaystyle 0<a<1$일 때,

$\displaystyle g(t)$는 $\displaystyle t=a$에서 최댓값 $\displaystyle a^{2}$을 가지므로 $\displaystyle a^{2}=2$이고,

$\displaystyle a= ± \sqrt {2}$는 $\displaystyle 0<a<1$을 만족시키지 않는다.

($\displaystyle \mathrm{ii}$) $\displaystyle a \ge 1$일 때,

$\displaystyle g(t)$는 $\displaystyle t=1$에서 최댓값 $\displaystyle -1+2 a$를 가지므로 $\displaystyle -1+2 a=2$

$\displaystyle \therefore~ a=\frac{3}{2}$

$\displaystyle t=-1$일 때 최소이므로, $\displaystyle x=\pi$일 때 $\displaystyle f(x)$의 최솟값은 $\displaystyle f(\pi )=-4$

[4] (1) $\displaystyle f^{\prime}(x)=x^{\frac{2}{3}}-2 x^{-\frac{1}{3}}=\frac{x-2}{\sqrt[3]{x}}$

$\displaystyle f^{\prime}(x)=0$에서 $\displaystyle x=2$

$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=\frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}}+\frac{2}{3} x^{-\frac{4}{3}}=\frac{2(x+1)}{3 \sqrt[3]{x^4}}$

$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=0$에서 $\displaystyle x=-1$

함수 $\displaystyle f(x)$의 증가와 감소, 곡선 $\displaystyle y=f(x)$의 오목과 볼록을 표로 나타내면 다음과 같다.

$\displaystyle x=0$을 포함하는 어떤 열린구간에 속하는 모든 $\displaystyle x$에 대하여 $\displaystyle f(x) \le f(0)=0$이므로 $\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=0$에서 극대이고, 극댓값은 $\displaystyle 0$

$\displaystyle f(x)$는 $\displaystyle x=2$에서 극소이고, 극솟값은 $\displaystyle -\frac{9 \sqrt[3]{4}}{5}$

$\displaystyle y=f(x)$의 변곡점의 좌표 $\displaystyle \left (-1,~-\frac{18}{5} \right )$

(2) $\displaystyle \lim _{x \to -\infty } f(x)=-\infty ,~ \lim _{x \to \infty } f(x)=\infty$이므로 $\displaystyle y=f(x)$의 그래프의 개형은 다음과 같다.

따라서 주어진 방정식의 서로 다른 실근의 개수는

$\displaystyle k<-\frac{9 \sqrt[3]{4}}{5}$또는 $\displaystyle k>0$일 때 $\displaystyle 1$개,

$\displaystyle k=-\frac{9 \sqrt[3]{4}}{5}$또는 $\displaystyle k=0$일 때 $\displaystyle 2$개,

$\displaystyle -\frac{9 \sqrt[3]{4}}{5}<k<0$일 때 $\displaystyle 3$개